Задание 26 ЕГЭ, физика: Динамика

Случай 1: движение в воздухе

На первое тело (массой $m_1 = 0,4$ кг) действуют вес $m_1g$ (вниз) и натяжение нити $T$ (вверх). На второе тело — вес $m_2g$ (вниз) и натяжение $T$ (вверх). Первое тело движется вниз с ускорением $a$, второе — вверх с тем же ускорением (нить нерастяжима).

Применим второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:

$$m_1g - T = m_1a$$ $$T - m_2g = m_2a$$

Сложив уравнения: $$m_1g - m_2g = m_1a + m_2a$$ $$(m_1 - m_2)g = (m_1 + m_2)a$$

Отсюда выражаем массу второго тела: $$m_2 = m_1 \frac{g - a}{g + a}$$

Случай 2: первое тело в керосине, система в равновесии

На первое тело теперь действуют: вес $m_1g$ (вниз), натяжение $T'$ (вверх) и выталкивающая сила Архимеда $F_A = \rho_{керосина} gV$ (вверх). Второе тело — в той же конфигурации.

При равновесии ($a = 0$): $$m_1g - T' - F_A = 0$$ $$T' - m_2g = 0$$

Из второго уравнения $T' = m_2g$. Подставляем в первое: $$m_1g - m_2g - \rho gV = 0$$ $$m_1 - m_2 = \rho V$$

Теперь подставляем выражение для $m_2$ из первого случая. После алгебраических преобразований получаем: $$a = \frac{\rho gV}{2m_1 - \rho V}$$

Подставляем значения ($\rho = 800$ кг/м³, $g = 10$ м/с², $V = 2 \times 10^{-4}$ м³, $m_1 = 0,4$ кг): $$a = \frac{800 \times 10 \times 2 \times 10^{-4}}{2 \times 0,4 - 800 \times 2 \times 10^{-4}} = \frac{1,6}{0,8 - 0,16} = \frac{1,6}{0,64} = 2,5 \text{ м/с}^2$$