ГлавнаяЕГЭ ФизикаЗадание 26Динамика

Задание 26 ЕГЭ, физика: Динамика

ЕГЭ ФизикаЗадание 261.2.4 Второй закон Ньютона: для материальной точки в ИСО

Полый конус с углом при вершине 2α вращается с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, совпадающей с его осью симметрии. Вершина конуса обращена вверх. На внешней поверхности конуса находится небольшая шайба, коэффициент трения которой о поверхность конуса равен μ. При каком максимальном расстоянии L от вершины шайба будет неподвижна относительно конуса? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на шайбу.

В подтеме 49 задач
Разбор
Главная идея: При максимальной частоте вращения трение покоя достигает предельного значения; уравнения динамики в проекциях на радиальное и вертикальное направления связывают геометрию конуса (угол α), коэффициент трения μ и радиус вращения R=Lsin⁡αR = L \sin \alpha.

Силы и система отсчёта. На шайбу действуют три силы: тяжесть mgmg (вниз), нормальная реакция опоры NN (перпендикулярна поверхности конуса, направлена от оси) и трение FтрF_{\text{тр}} (вдоль поверхности). При максимальной угловой скорости шайба находится на грани скольжения, поэтому трение достигает максимума: Fтр=μNF_{\text{тр}} = \mu N.

Выбор осей. Введём оси: горизонтальная xx (радиальное направление к центру окружности вращения) и вертикальная yy (вверх). Нормальная сила NN составляет угол α\alpha с горизонтом, трение направлено вверх вдоль поверхности под тем же углом.

Второй закон Ньютона в проекциях:

  • По xx: Fтрsin⁡α−Ncos⁡α=mω2RF_{\text{тр}} \sin \alpha - N \cos \alpha = m \omega^2 R
  • По yy: Fтрcos⁡α+Nsin⁡α−mg=0F_{\text{тр}} \cos \alpha + N \sin \alpha - mg = 0

Здесь центростремительное ускорение ac=ω2Ra_c = \omega^2 R, где R=Lsin⁡αR = L \sin \alpha — радиус окружности вращения шайбы.

Решение системы. Подставим Fтр=μNF_{\text{тр}} = \mu N в оба уравнения и выразим отношение ac/ga_c / g: μsin⁡α−cos⁡αμcos⁡α+sin⁡α=acg=ω2Lsin⁡αg\frac{\mu \sin \alpha - \cos \alpha}{\mu \cos \alpha + \sin \alpha} = \frac{a_c}{g} = \frac{\omega^2 L \sin \alpha}{g}

Выражение для L. Разделим числитель и знаменатель левой части на sin⁡α\sin \alpha: μ−cot⁡αμcos⁡α+sin⁡α⋅1sin⁡α=ω2Lg\frac{\mu - \cot \alpha}{\mu \cos \alpha + \sin \alpha} \cdot \frac{1}{\sin \alpha} = \frac{\omega^2 L}{g}

Отсюда: L=(μ−cot⁡α)gω2(μcos⁡α+sin⁡α)L = \frac{(\mu - \cot \alpha)g}{\omega^2(\mu \cos \alpha + \sin \alpha)}

Типичные ошибки

  • Неправильная ориентация сил: забывают, что нормальная сила и трение направлены под углом α к горизонтали и вертикали соответственно.
  • Ошибка в выборе радиуса вращения: берут R=LR = L, а не R=Lsin⁡αR = L \sin \alpha, что приводит к неверной размерности.
  • Неправильное применение условия предельного трения: забывают, что при максимальном расстоянии трение именно максимально и равно μN\mu N.
Непонятно?

Похожие задачи