Задание 26 ЕГЭ, физика: Динамика

Обоснование методов:

Используем инерциальную систему отсчета, связанную с Землей. Груз можно рассматривать как материальную точку, так как его размеры малы. Применяем второй закон Ньютона, закон Гука и условие максимального статического трения.

Решение:

1. Анализ сил. На груз действуют четыре силы: тяжесть $mg$, нормальная реакция $N$, упругость пружины $F_{упр}$ и трение покоя $F_{тр}$. Вертикально: $N = mg = 10$ Н.

2. Определение состояния пружины. При расстоянии $R_{min}$ от центра груз движется по окружности с центростремительным ускорением $a_ц = 4\pi^2\nu^2 R_{min}$. Требуемая центростремительная сила: $F_ц = 4\pi^2\nu^2 m R_{min} \approx 0,99 R_{min}$ Н. Максимальное трение: $F_{тр,макс} = \mu mg = 5$ Н. Так как даже при $R_{min} = L$ нужная сила меньше трения, пружина сжата.

3. Уравнение движения (горизонтальная проекция): $$4\pi^2\nu^2 m R_{min} = F_{тр} - F_{упр}$$

Здесь $F_{тр} = \mu mg = 5$ Н — максимальное трение (груз на грани проскальзывания), $F_{упр} = k\Delta x$, где $\Delta x = L - R_{min}$ — сжатие пружины.

4. Подстановка: $$4\pi^2\nu^2 m R_{min} = \mu mg - k(L - R_{min})$$ $$4\pi^2\nu^2 m R_{min} = \mu mg - kL + k R_{min}$$ $$R_{min}(4\pi^2\nu^2 m - k) = \mu mg - kL$$ $$R_{min} = \frac{kL - \mu mg}{k - 4\pi^2\nu^2 m}$$

5. Численный расчет: $$R_{min} = \frac{30 \times 0,3 - 0,5 \times 1 \times 10}{30 - 4 \times 9,87 \times 0,25 \times 1} = \frac{9 - 5}{30 - 9,87} = \frac{4}{20,13} \approx 0,2 \text{ м}$$