Задание 22 ЕГЭ, физика: Механика

Шаг 1. Определим компоненты начальной скорости.

При броске под углом $\alpha = 45°$ начальная скорость раскладывается на:

• горизонтальную: $v_{0x} = v_0 \cos 45°$
• вертикальную: $v_{0y} = v_0 \sin 45°$

Шаг 2. Найдём время полёта.

По вертикали движение равноускоренное с ускорением $-g$. Камень возвращается на землю, когда вертикальное смещение равно нулю: $$v_{0y}t - \frac{gt^2}{2} = 0$$

Отсюда время полёта: $$t_{\text{пол}} = \frac{2v_{0y}}{g} = \frac{2v_0 \sin 45°}{g}$$

Шаг 3. Выразим начальную скорость через дальность.

По горизонтали движение равномерное (нет ускорения). Дальность полёта: $$L = v_{0x} \cdot t_{\text{пол}} = v_0 \cos 45° \cdot \frac{2v_0 \sin 45°}{g}$$

Подставим $\cos 45° = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $L = 20$ м: $$20 = v_0^2 \cdot \frac{2 \sin 45° \cos 45°}{g} = v_0^2 \cdot \frac{\sin 90°}{g}$$

Следовательно: $v_0^2 = 20g$

Шаг 4. Найдём максимальную высоту.

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю. Используя формулу $v_y^2 = v_{0y}^2 - 2gh_{\max}$: $$0 = (v_0 \sin 45°)^2 - 2g h_{\max}$$

$$h_{\max} = \frac{v_0^2 \sin^2 45°}{2g} = \frac{20g \cdot (\frac{1}{2})}{2g} = \frac{20}{4} = 5 \text{ м}$$