ГлавнаяЕГЭ ФизикаЗадание 26Динамика

Задание 26 ЕГЭ, физика: Динамика

ЕГЭ ФизикаЗадание 261.2.4 Второй закон Ньютона: для материальной точки в ИСО

На заре развития авто- и мототехники большой популярностью пользовался аттракцион «Мотоциклист под куполом цирка». На цирковой арене устанавливали полусферический купол, сделанный из стальных прутьев. Мотоциклист начинал ездить по арене по кругу, постепенно разгоняясь. Когда скорость мотоциклиста становилась достаточно большой, он начинал двигаться по внутренней поверхности купола, поднимаясь при дальнейшем разгоне все выше и выше. Пусть отрезок, соединяющий центр O купола с мотоциклистом, составляет с вертикалью угол альфа = 60°. Найдите минимальную скорость V с которой должен ехать мотоциклист для того, чтобы двигаться под куполом по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости. Радиус купола R = 20м, коэффициент трения скольжения между колесами мотоцикла и внутренней поверхностью купола \mu = 0,8. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

В подтеме 49 задач
Разбор
Главная идея: При минимальной скорости трение достигает максимального значения и направлено вверх, компенсируя дефицит нормальной силы для удержания мотоциклиста на окружности; сумма горизонтальных компонент всех сил обеспечивает необходимое центростремительное ускорение.

Анализ сил и выбор системы координат:

Мотоциклист движется по горизонтальной окружности внутри купола. На него действуют три силы: тяжесть mgmg (вниз), нормальная реакция NN (к центру O) и трение покоя FтрF_{тр} (вверх по поверхности). При минимальной скорости трение максимально: Fтр=μNF_{тр} = \mu N.

Геометрия движения:

Радиус траектории (горизонтальной окружности) равен r=Rsin⁡αr = R \sin \alpha, где α=60°\alpha = 60° — угол между радиусом и вертикалью. Центростремительное ускорение: aц=V2Rsin⁡αa_ц = \frac{V^2}{R \sin \alpha}.

Второй закон Ньютона:

Делим силы на компоненты. В радиальном направлении (горизонтально, к оси вращения): mV2Rsin⁡α=Nsin⁡α+μNcos⁡αm\frac{V^2}{R \sin \alpha} = N \sin \alpha + \mu N \cos \alpha

В вертикальном направлении (так как ускорение вертикальное = 0): μNsin⁡α−Ncos⁡α−mg=0\mu N \sin \alpha - N \cos \alpha - mg = 0

Решение системы:

Из второго уравнения выразим NN: N(μsin⁡α−cos⁡α)=mgN(\mu \sin \alpha - \cos \alpha) = mg N=mgμsin⁡α−cos⁡αN = \frac{mg}{\mu \sin \alpha - \cos \alpha}

Подставим в первое уравнение и упростим (разделив на NN): V2gRsin⁡α=sin⁡α+μcos⁡αμsin⁡α−cos⁡α\frac{V^2}{gR \sin \alpha} = \frac{\sin \alpha + \mu \cos \alpha}{\mu \sin \alpha - \cos \alpha}

После преобразования получаем: V=gRsin⁡α(μ+tan⁡α)μtan⁡α−1V = \sqrt{\frac{gR \sin \alpha(\mu + \tan \alpha)}{\mu \tan \alpha - 1}}

Числовой расчёт:

sin⁡60°=0,866\sin 60° = 0,866, tan⁡60°=1,732\tan 60° = 1,732 V=10⋅20⋅0,866⋅(0,8+1,732)0,8⋅1,732−1=173,2⋅2,5320,386≈1136≈33,7 м/сV = \sqrt{\frac{10 \cdot 20 \cdot 0,866 \cdot (0,8 + 1,732)}{0,8 \cdot 1,732 - 1}} = \sqrt{\frac{173,2 \cdot 2,532}{0,386}} \approx \sqrt{1136} \approx 33,7 \text{ м/с}

Типичные ошибки

  • Неправильное определение направления трения — трение должно быть направлено вверх по поверхности (помогает удерживаться), а не вниз
  • Ошибка при разложении сил на компоненты: забывают, что нормальная сила направлена к центру O (не вертикально), поэтому её горизонтальная компонента — Nsin⁡αN \sin \alpha, вертикальная — Ncos⁡αN \cos \alpha
  • Невнимательное решение системы уравнений — потеря знаков или неправильное выражение NN из уравнения равновесия по вертикали
Непонятно?

Похожие задачи