Задание 23 ЕГЭ, физика: Оптика

Задача на геометрическую оптику с протяженным источником света. Нужно найти область полутени на полу.

Геометрия системы:

• Панно-лампа (светящийся круг) диаметром $D = 2$ м на потолке на высоте $H = 4$ м
• Диск диаметром $d = 2$ м на высоте $h = 2$ м
• Оба центра на одной вертикали
• Найти площадь полутени на полу

Ход решения:

Крайние лучи от краев панно, проходящие мимо края диска, образуют границу полутени. Используем подобие треугольников.

Рассмотрим луч, идущий от края панно через край диска до пола. На высоте диска расстояние от оси до края панно равно $\frac{D}{2} = 1$ м, до края диска также $\frac{d}{2} = 1$ м.

Построим подобные треугольники: один с высотой $h = 2$ м (от диска до пола) и основанием, связанным с диаметром полутени; другой с высотой $H - h = 2$ м (от панно до диска) и основанием $\frac{D - d}{2} = 0$ м.

На самом деле применим пропорцию подобия: $$\frac{d}{H-h} = \frac{D-d}{2h}$$

Откуда: $$d \cdot 2h = (D-d)(H-h)$$ $$2dh = D(H-h) - d(H-h)$$ $$d(2h + H - h) = D(H-h)$$ $$d(H+h) = D(H-h)$$

Диаметр полутени: $$D_{полутень} = d + \frac{2hd}{H-h} = \frac{d(H+h)}{H-h} = \frac{2(4+2)}{4-2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ м}$$

Площадь полутени: $$S = \frac{\pi D_{полутень}^2}{4} - \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi(36-4)}{4} = \frac{3,14 \cdot 32}{4} \approx 25 \text{ м}^2$$