Задание 26 ЕГЭ, физика: Динамика

Обоснование применяемых законов.

Используем второй закон Ньютона в инерциальной системе отсчёта (связанной с Землей). Шайба рассматривается как материальная точка, совершающая поступательное движение. При движении по шероховатой поверхности действует сила трения скольжения: $F_{тр} = \mu N$.

Решение.

На шайбу действуют:

• сила тяжести $mg$ (вертикально вниз);
• нормальная реакция $N$ (перпендикулярно плоскости);
• горизонтальная сила $F$ (параллельно нижнему ребру);
• сила трения $\vec{F}_{тр}$ (вдоль плоскости, противодействует движению).

Выбираем оси: $x$ — вдоль нижнего ребра (направление $F$), $y$ — вверх по плоскости, $z$ — перпендикулярно плоскости.

Проекции сил тяжести: вдоль плоскости вниз — $mg\sin\alpha$, перпендикулярно — $mg\cos\alpha$.

Второй закон Ньютона в проекциях при равновесии (момент сдвига): $$\begin{cases} F_{тр,x} = F \\ F_{тр,y} = mg\sin\alpha \\ N = mg\cos\alpha \end{cases}$$

Сила трения имеет две компоненты. Её модуль: $$F_{тр} = \sqrt{F_{тр,x}^2 + F_{тр,y}^2} = \sqrt{F^2 + (mg\sin\alpha)^2}$$

Условие сдвига: $F_{тр} = \mu N$ $$\sqrt{F^2 + (mg\sin\alpha)^2} = \mu mg\cos\alpha$$

Возводим в квадрат и решаем относительно $F$: $$F^2 = \mu^2 m^2g^2\cos^2\alpha - m^2g^2\sin^2\alpha$$ $$F = mg\sqrt{\mu^2\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}$$

Подставляем значения: $m = 0,5$ кг, $g = 10$ м/с², $\alpha = 30°$, $\mu = 0,7$: $$\cos^2 30° = 0,75, \quad \sin^2 30° = 0,25$$ $$F = 0,5 \cdot 10 \cdot \sqrt{0,49 \cdot 0,75 - 0,25} = 5 \cdot \sqrt{0,3675 - 0,25} \approx 5 \cdot 0,34 \approx 1,7 \text{ Н}$$