Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Обозначим точки пересечения прямых $PR$ и $SQ$ с окружностью. Записывая вписанные углы через дуги, из равенства $\angle SET=\angle TEQ$ (так как $ER$ — биссектриса) получаем соотношение между дугами $(1)$, а из прямого угла между $PR$ и $SQ$ — соотношение $(2)$. Вычитая $(1)$ из $(2)$, приходим к равенству $\angle KFS=\angle SFL$, то есть $FS$ — биссектриса угла $KFL$, а значит треугольник $RFP$ равнобедренный: $RT=TP$, где $T$ — точка пересечения $PR$ и $SQ$. Аналогично $ST=TQ$. Значит диагонали четырёхугольника $PQRS$ делятся точкой пересечения пополам — это параллелограмм, а поскольку по условию его диагонали перпендикулярны, он является ромбом.

б) Из равенства $\angle NKE=180^\circ-\angle NML=\angle LME$ следует подобие $\triangle KEN\sim\triangle MEL$, откуда $\dfrac{ME}{KE}=\dfrac{LE}{NE}=\dfrac{LM}{KN}=\dfrac13$. Отсюда $KE=18,\ KL=14,\ NE=12,\ NM=6$.

По свойству биссектрисы в $\triangle LEM$: $\dfrac{LP}{PM}=\dfrac{EL}{EM}=\dfrac46$, значит $LP=2,\ PM=3$.

Аналогично из подобия $\triangle FNM\sim\triangle FLK$ получаем $\dfrac{KF}{FM}=\dfrac{FL}{FN}=\dfrac{KL}{NM}=\dfrac73$, решая с учётом $KF=15+NF,\ FL=5+FM$, находим $FM=9,\ NF=6$.

По свойству биссектрисы в $\triangle NFM$: $\dfrac{NQ}{QM}=\dfrac{NF}{FM}=\dfrac69$, значит $NQ=2{,}4,\ QM=3{,}6$.

По теореме косинусов в $\triangle KEN$: $\cos\angle KEN=\dfrac{18^2+12^2-15^2}{2\cdot18\cdot12}=\dfrac{9}{16}$.

Так как $EQ=9{,}6$ (сумма отрезков биссектрисы), $SQ^2=2\cdot9{,}6^2(1-\cos\angle KEN)=\dfrac{2\cdot7\cdot12^2}{5^2}$, откуда $SQ=\dfrac{12\sqrt{14}}{5}$.

Аналогично, $\cos\angle KFL=\dfrac{21^2+14^2-14^2}{2\cdot21\cdot14}=\dfrac34$, и при $PF=12$ получаем $PR^2=2\cdot12^2\left(1-\dfrac34\right)=72$, то есть $PR=6\sqrt2$.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: $$S_{PQRS}=\dfrac12\cdot SQ\cdot PR=\dfrac12\cdot\dfrac{12\sqrt{14}}{5}\cdot6\sqrt2=\dfrac{72\sqrt7}{5}.$$