Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов трапеции, поэтому $\angle KAO=\tfrac12\angle BAD$, $\angle KBO=\tfrac12\angle ABC$. Так как $BC\parallel AD$, сумма односторонних углов $\angle BAD+\angle ABC=180^\circ$, значит $\angle OAB+\angle OBA=90^\circ$, то есть треугольник $AOB$ прямоугольный с прямым углом при $O$. Отрезок $OK$ — высота этого треугольника (так как $OK\perp AB$ по свойству касательной), поэтому по свойству высоты прямоугольного треугольника $OK^2=AK\cdot BK$. Площадь треугольника $AOB$ можно посчитать двумя способами: через высоту $OK$ и катеты $AO,BO$: $\dfrac{OK\cdot AB}{2}=\dfrac{AO\cdot BO}{2}$. Подставив $OK=\sqrt{AK\cdot BK}$, получаем $AB\sqrt{AK\cdot BK}=AO\cdot BO$, что и требовалось.

б) Пусть точки касания на $BC,CD,DA$ — $L,M,N$, $BK=BL=b$, $AK=AN=a$. По доказанному в а) $OK=\sqrt{ab}$. Треугольники $ABH$ (где $BH$ — высота трапеции) и $OKP$ (где $P$ — пересечение диагоналей четырёхугольника касания) подобны, откуда $KM=\dfrac{OK\cdot BH}{AB}$. Используя $BH^2=AB^2-(a-b)^2$ и $AB=a+b$ (равнобедренная трапеция), получаем $KM=\dfrac{2ab}{a+b}$.

Площадь $S_{KLMN}=\dfrac12 LN\cdot KM$, а площадь трапеции $S_{ABCD}=\dfrac12(2a+2b)LN$. По условию $\dfrac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}}=\dfrac{16}{81}$, что даёт уравнение $\dfrac{2ab}{a+b}=\dfrac{16}{81}(a+b)$, то есть $8(a+b)^2=81ab$, или $8a^2-65ab+8b^2=0$. Разложив: $(8a-b)(a-8b)=0$, получаем $\dfrac{a}{b}=8$ или $\dfrac{a}{b}=\dfrac18$. Так как основания $AD=2a$, $BC=2b$, меньшее к большему равно $\dfrac{1}{8}$.