Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Прямые $BE$ и $DA$, а также $CE$ и $DB$ взаимно перпендикулярны, значит углы между ними равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами: $\angle BEC=\angle BDA$.

Трапеция $ABCD$ равнобедренная ($AB=CD$), поэтому она вписана в окружность, и дуги $AB$ и $CD$ равны. Значит вписанные углы $\angle BDA$ и $\angle BDC$, опирающиеся на эти дуги, равны: $\angle BDA=\angle BDC$.

Отсюда $\angle BEC=\angle BDC$, то есть точки $B,E,D,C$ лежат на одной окружности (совпадающей с описанной около $ABCD$). Тогда $\angle BEA$ и $\angle BDA$ опираются на одну и ту же дугу $AB$, значит $\angle AEB=\angle BDA$, что и требовалось.

б) Из пункта а) $\angle BDA=\angle BDC=\angle AEB$. Так как $AB=BC=CD$, дуги $AB,BC,CD$ равны, поэтому углы $\angle BDA$ и $\angle BDC$ равны между собой (уже использовано), а угол при вершине $D$ трапеции равен их сумме: $\angle D=\angle BDA+\angle BDC=2\angle AEB$. В равнобедренной трапеции $\angle A=\angle D$, значит $\angle A=2\angle AEB$.

По формуле косинуса двойного угла: $$\cos\angle A=2\cos^2\angle AEB-1=2\cdot\frac{16}{25}-1=\frac{7}{25}.$$

Пусть $K=BE\cap AD$. Так как $BE\perp AD$, треугольник $ABK$ прямоугольный с гипотенузой $AB=50$ и углом $A$ при вершине $A$: $$AK=AB\cos A=50\cdot\frac{7}{25}=14,\qquad BK=\sqrt{AB^2-AK^2}=\sqrt{2500-196}=\sqrt{2304}=48.$$

Поскольку трапеция равнобедренная, $BK$ — её высота, а проекция боковой стороны $AK=\dfrac{AD-BC}{2}$, откуда средняя линия трапеции равна $$\frac{AD+BC}{2}=BC+AK=50+14=64.$$

Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту: $$S=64\cdot48=3072.$$