Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах всех углов трапеции, значит $AO$ и $BO$ — биссектрисы углов $A$ и $B$. Так как $AD\parallel BC$, сумма углов $A$ и $B$ равна $180^\circ$, поэтому $\angle OAB+\angle OBA=\tfrac12(\angle A+\angle B)=90^\circ$. Тогда в треугольнике $AOB$ угол $\angle AOB=180^\circ-90^\circ=90^\circ$. Прямой вписанный угол опирается на диаметр, значит $AB$ — диаметр окружности, описанной около $\triangle AOB$.

б) Пусть $K,L,M,N$ — точки касания на $AB,BC,CD,AD$. Из равенства прямоугольных треугольников (радиус и касательная) следует, что $L,N$ — середины оснований. Обозначим $BL=BK=x$, $DM=DN=y$, тогда $BC=2x$, $AD=2y$, а по условию $AD:BC=2:1$, значит $y=2x$. Высота трапеции $LN=2r$.

Отрезок $KM$ равен среднему гармоническому оснований: $$KM=\dfrac{2\cdot AD\cdot BC}{AD+BC}=\dfrac{2\cdot 2x\cdot 4x}{2x+4x}=\dfrac{8}{3}x.$$

Площадь трапеции: $$S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot LN=\dfrac{2x+4x}{2}\cdot 2r=6xr.$$

Так как диагонали $KLMN$ взаимно перпендикулярны (лежат на биссектрисах смежных углов, а сумма углов трапеции при боковой стороне 180°), площадь четырёхугольника: $$S_1=\dfrac12 KM\cdot LN=\dfrac12\cdot\dfrac{8}{3}x\cdot 2r=\dfrac{8}{3}xr.$$

Отношение: $$\dfrac{S_1}{S}=\dfrac{8xr/3}{6xr}=\dfrac{4}{9}.$$