Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Так как $AM=MC$, треугольник $AMC$ равнобедренный, значит углы при основании равны: $\angle MAC=\angle MCA$.

Поскольку $AD\parallel BC$ (стороны параллелограмма), а $AC$ — секущая, накрест лежащие углы равны: $\angle MCA=\angle DAC$.

Следовательно $\angle MAC=\angle DAC$, то есть луч $AC$ делит угол $\angle MAD$ пополам. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис его углов, значит центр окружности, вписанной в $AMD$, лежит на прямой $AC$.

б) Пусть $AM=MC=x$, тогда $BM=BC-MC=10-x$. Угол $\angle ABM=180^\circ-60^\circ=120^\circ$ (соседний с $\angle BAD$). По теореме косинусов в треугольнике $ABM$: $$x^2=25+(10-x)^2-2\cdot5\cdot(10-x)\cos120^\circ=25+(10-x)^2+5(10-x).$$ Раскрыв и решив, получаем $x=7$, то есть $AM=MC=7$.

Угол $\angle MCD=\angle BCD=180^\circ-120^\circ=60^\circ$. В треугольнике $MCD$ известны $MC=7$, $CD=AB=5$: $$MD=\sqrt{MC^2+CD^2-2\cdot MC\cdot CD\cos60^\circ}=\sqrt{49+25-35}=\sqrt{39}.$$

Треугольники $AMD$ и $ABD$ (половина параллелограмма) имеют общее основание $AD$ и одинаковую высоту (расстояние между прямыми $AD$ и $BC$), поэтому площадь $AMD$ равна половине площади всего параллелограмма: $$S_{AMD}=\frac{AB\cdot AD\cdot\sin\angle BAD}{2}=\frac{5\cdot10\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2}=\frac{25\sqrt3}{2}.$$

Площадь треугольника связана с радиусом вписанной окружности формулой $S=pr$, где $p$ — полупериметр. Периметр $AMD$ равен $AM+MD+AD=7+\sqrt{39}+10=17+\sqrt{39}$, значит $$r=\frac{2S_{AMD}}{17+\sqrt{39}}=\frac{25\sqrt3}{17+\sqrt{39}}.$$

Умножив числитель и знаменатель на $(17-\sqrt{39})$ (разность квадратов $289-39=250$): $$r=\frac{25\sqrt3(17-\sqrt{39})}{250}=\frac{425\sqrt3-75\sqrt{13}}{250}=\frac{17\sqrt3-3\sqrt13}{10}.$$