Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

а) Пусть $O$ — центр окружности, $R$ — радиус. Так как $K$ — середина дуги $MN$, то $OK\perp MN$ и $\angle MOK=90^\circ$. Треугольник $OMK$ равнобедренный ($OM=OK=R$) с прямым углом при вершине $O$, значит его гипотенуза $MK=R\sqrt2$, а высота (и медиана) из $O$ равна $OE=\dfrac{R\sqrt2}{2}$; при этом $E$ делит $MK$ пополам, поэтому $ME=EK=\dfrac{R\sqrt2}{2}$. Прямая $OE$ делит угол $MOK$ пополам, значит $\angle EOK=45^\circ$. Дуга $KN$ равна $90^\circ$, а $B$ — её середина, значит $\angle KOB=\angle BON=45^\circ$. Отсюда $\angle EOB=\angle EOK+\angle KOB=90^\circ$, и по теореме Пифагора $EB^2=OE^2+OB^2=\dfrac{R^2}{2}+R^2=\dfrac{3R^2}{2}$.

Хорды $MK$ и $AB$ пересекаются в точке $E$, поэтому по свойству пересекающихся хорд $AE\cdot EB=ME\cdot EK=\left(\dfrac{R\sqrt2}{2}\right)^2=\dfrac{R^2}{2}$.

Тогда $\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AE\cdot EB}{EB^2}=\dfrac{R^2/2}{3R^2/2}=\dfrac13$, что и требовалось.

б) Из $AE:EB=1:3$ получаем $AB=AE+EB=\dfrac43EB=\dfrac43\sqrt{\dfrac{3R^2}{2}}=\dfrac{2\sqrt6}{3}R$.

По условию $MN=2R=3\sqrt7$, откуда $R=\dfrac{3\sqrt7}{2}$. Подставляя, $AB=\dfrac{2\sqrt6}{3}\cdot\dfrac{3\sqrt7}{2}=\sqrt{42}$.

Так как $ABCD$ — прямоугольник, вписанный в окружность, его диагональ равна диаметру: $AC=MN=3\sqrt7$. По теореме Пифагора $BC^2=AC^2-AB^2=63-42=21$, значит $BC=\sqrt{21}$.

Площадь прямоугольника $S=AB\cdot BC=\sqrt{42}\cdot\sqrt{21}=\sqrt{882}=21\sqrt2$.