Задание 22 ЕГЭ, физика: Механика

Первая космическая скорость — это минимальная скорость для движения по круговой орбите у поверхности планеты.

Шаг 1. Запишем формулу первой космической скорости.

Для любой планеты первая космическая скорость определяется из условия, что гравитационная сила обеспечивает центростремительную силу: $$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$$

Для Земли: $v_З = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З}}$

Для Плюка: $v_П = \sqrt{\frac{GM_П}{R_П}}$

Шаг 2. Найдём отношение скоростей.

$$\frac{v_П}{v_З} = \sqrt{\frac{M_П}{M_З} \cdot \frac{R_З}{R_П}}$$

Шаг 3. Выразим массы через плотности.

Масса планеты: $M = \frac{4}{3}\pi \rho R^3$

Так как плотности Плюка и Земли равны ($\rho_П = \rho_З = \rho$):

$$\frac{M_П}{M_З} = \frac{\frac{4}{3}\pi \rho R_П^3}{\frac{4}{3}\pi \rho R_З^3} = \frac{R_П^3}{R_З^3}$$

Шаг 4. Подставим в формулу отношения.

$$\frac{v_П}{v_З} = \sqrt{\frac{R_П^3}{R_З^3} \cdot \frac{R_З}{R_П}} = \sqrt{\frac{R_П^2}{R_З^2}}$$

Шаг 5. Учтём условие, что $R_П = 2R_З$.

$$\frac{v_П}{v_З} = \sqrt{\frac{(2R_З)^2}{R_З^2}} = \sqrt{4} = 2$$