Задание 25 ЕГЭ, физика: Оптика

Рыба видит комара благодаря световому лучу, который переходит из воздуха в воду. Поскольку вода оптически плотнее воздуха, луч преломляется к нормали (угол преломления всегда меньше угла падения).

Максимальное расстояние определяется предельным (критическим) углом преломления, при котором преломленный луч идет вдоль поверхности воды.

Шаг 1. Найдём предельный угол из закона Снеллиуса:

$$\sin \alpha_{пред} = \frac{1}{n}$$

где $n = 1,33$ — показатель преломления воды.

$$\sin \alpha_{пред} = \frac{1}{1,33}$$

Шаг 2. Найдём косинус предельного угла:

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\cos \alpha_{пред} = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha_{пред}} = \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}} = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n}$$

Шаг 3. Найдём максимальное расстояние:

Из геометрии: если комар на поверхности, рыба на глубине $H = 2$ м, а предельный луч идёт под углом $\alpha_{пред}$ к нормали, то горизонтальное расстояние равно:

$$d = H \cdot \tan \alpha_{пред} = H \cdot \frac{\sin \alpha_{пред}}{\cos \alpha_{пред}} = H \cdot \frac{1/n}{\sqrt{n^2-1}/n} = \frac{H}{\sqrt{n^2 - 1}}$$

Шаг 4. Подставим значения:

$$d = \frac{2}{\sqrt{1,33^2 - 1}} = \frac{2}{\sqrt{1,769 - 1}} = \frac{2}{\sqrt{0,769}} = \frac{2}{0,877} \approx 2,28 \text{ м}$$

Однако расстояние между комаром и рыбой (гипотенуза) равно:

$$AK = \frac{H}{\cos \alpha_{пред}} = \frac{Hn}{\sqrt{n^2 - 1}} = \frac{2 \cdot 1,33}{\sqrt{1,769 - 1}} = \frac{2,66}{0,877} \approx 3 \text{ м}$$