Задание 25 ЕГЭ, физика: Оптика

Шаг 1. Связь максимальной скорости с амплитудой колебаний маятника

Для маятника, колеблющегося с малыми углами, используем энергию. При максимальной скорости груз проходит положение равновесия, вся энергия — кинетическая. На максимальном отклонении на угол $\alpha$ вся энергия — потенциальная: $$\frac{mv^2}{2} = mgh$$

где высота подъема $h = l(1 - \cos\alpha) \approx \frac{l\alpha^2}{2}$ (малые углы).

Для малых колебаний максимальный угол $\alpha = \frac{A}{l}$, где $A$ — амплитуда смещения груза.

Подставляя: $\frac{v^2}{2} = g \cdot \frac{l\alpha^2}{2} = g \cdot \frac{A^2}{2l}$

Отсюда: $A = v\sqrt{\frac{l}{g}}$

Шаг 2. Амплитуда изображения на экране

По геометрии оптики, амплитуда изображения связана с амплитудой предмета через увеличение: $$A_1 = A \cdot \frac{b}{a}$$

где $a$ — расстояние от груза до линзы, $b = 0,5$ м — расстояние от линзы до экрана.

Шаг 3. Нахождение расстояния $a$ от формулы линзы

Формула тонкой линзы: $\frac{1}{F} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

Отсюда: $\frac{b}{a} = \frac{b}{F} - 1$

Шаг 4. Объединение результатов

$$A_1 = v\sqrt{\frac{l}{g}} \left(\frac{b}{F} - 1\right)$$

Решаем относительно $l$: $$l = g\left(\frac{A_1 F}{v(b - F)}\right)^2$$

Шаг 5. Подстановка чисел

$F = 0,2$ м, $b = 0,5$ м, $v = 0,1$ м/с, $A_1 = 0,1$ м, $g = 10$ м/с²:

$$l = 10 \cdot \left(\frac{0,1 \cdot 0,2}{0,1 \cdot (0,5 - 0,2)}\right)^2 = 10 \cdot \left(\frac{0,02}{0,03}\right)^2 \approx 10 \cdot 0,444 \approx 4,4\text{ м}$$