Задание 26 ЕГЭ, физика: Динамика

Шаг 1. Анализ системы и выбор координат.

Система состоит из трёх тел: груза массой $M = 0,8$ кг на горизонтальной поверхности и двух брусков массой $m = 0,4$ кг каждый, соединённых пружиной. Поскольку пружина не меняет длину во время движения (длина постоянна), оба бруска движутся с одинаковым ускорением $a$. Нить невесома и нерастяжима, поэтому груз и верхний брусок также имеют одинаковое ускорение $a$.

Шаг 2. Второй закон Ньютона для каждого тела.

Для груза на горизонтальной поверхности (направление вверх вдоль нити): $$Ma = T - F_{\text{тр}} = T - \mu Mg$$

Для верхнего бруска (направление вниз): $$ma = mg - T + F_{\text{упр}}$$

Для нижнего бруска (направление вниз): $$ma = mg - F_{\text{упр}}$$

Здесь $F_{\text{упр}} = kx$ — сила упругости пружины, $x$ — удлинение пружины.

Шаг 3. Нахождение удлинения пружины.

Сложим уравнения для обоих брусков: $$2ma = 2mg$$

Это даёт $a = g$, что неверно при наличии натяжения. Пересчитаем корректно: вычтем третье уравнение из второго: $$0 = -T + 2F_{\text{упр}}$$ $$T = 2F_{\text{упр}} = 2kx$$

Подставим в уравнение для груза и оба уравнения для брусков. После совместного решения системы получим: $$x = \frac{mMg(1 + \mu)}{k(M + 2m)}$$

Шаг 4. Вычисление длины пружины.

$$x = \frac{0,4 \cdot 0,8 \cdot 10 \cdot (1 + 0,2)}{80 \cdot (0,8 + 2 \cdot 0,4)} = \frac{0,32 \cdot 10 \cdot 1,2}{80 \cdot 1,6} = \frac{3,84}{128} = 0,03 \text{ м}$$

Длина пружины: $$l = l_0 + x = 0,1 + 0,03 = 0,13 \text{ м} = 13 \text{ см}$$