Задание 25 ЕГЭ, физика: Оптика

Шаг 1. Найдём фокусное расстояние линзы

Оптическая сила $D = 2,5$ дптр, поэтому $F = \frac{1}{D} = \frac{1}{2,5} = 0,4$ м $= 40$ см.

Шаг 2. Определим расстояния от линзы до передней и задней граней прямоугольника

Дальняя сторона (CD) находится на расстоянии $d_1 = 90$ см от линзы. Передняя сторона (AB) находится ближе на величину $b = 18$ см, то есть на расстоянии $d_2 = 90 - 18 = 72$ см.

Шаг 3. Найдём расстояния до изображений обеих граней

Используем формулу тонкой линзы: $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$, откуда $f = \frac{dF}{d - F}$.

Для дальней грани: $f_1 = \frac{90 \cdot 40}{90 - 40} = \frac{3600}{50} = 72$ см.

Для передней грани: $f_2 = \frac{72 \cdot 40}{72 - 40} = \frac{2880}{32} = 90$ см.

Шаг 4. Найдём глубину изображения прямоугольника

Расстояние между изображениями граней: $A_1D_1 = f_2 - f_1 = 90 - 72 = 18$ см.

Шаг 5. Найдём длины сторон, параллельных оси, в изображении

Увеличение зависит от расстояния до линзы. Поскольку разные части прямоугольника находятся на разных расстояниях, их изображения получают разные увеличения.

Для дальней стороны: $a_1 = \frac{a \cdot f_1}{d_1} = \frac{30 \cdot 72}{90} = 24$ см.

Для передней стороны: $a_2 = \frac{a \cdot f_2}{d_2} = \frac{30 \cdot 90}{72} = 37,5$ см.

Шаг 6. Вычислим площадь

Изображением прямоугольника является трапеция с параллельными сторонами 24 см и 37,5 см, высотой 18 см: $$S = \frac{24 + 37,5}{2} \cdot 18 = \frac{61,5}{2} \cdot 18 = 30,75 \cdot 18 = 553,5 \text{ см}^2$$