Теорема Пифагора: формулы и решение задач для ОГЭ

Коротко о главном

Теорема Пифагора связывает три стороны прямоугольного треугольника: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Это одна из самых часто используемых формул на ОГЭ — она нужна для вычисления сторон треугольника, диагоналей прямоугольника, высоты в равнобедренном треугольнике, расстояний на координатной плоскости.

Главное правило: теорема применяется только к прямоугольному треугольнику, где катеты — стороны, прилежащие к прямому углу, а гипотенуза — сторона напротив прямого угла (самая длинная сторона).

Определения и формулы

Понятие	Обозначение	Формула
Катеты	$a$, $b$	стороны при прямом угле
Гипотенуза	$c$	сторона против прямого угла
Теорема Пифагора	—	$$a^2 + b^2 = c^2$$
Нахождение гипотенузы	$c$	$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$
Нахождение катета	$a$	$$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$
Обратная теорема	—	если $a^2+b^2=c^2$, то треугольник прямоугольный

Частые готовые тройки чисел (запомнить, чтобы не считать корни):

• $3, 4, 5$
• $6, 8, 10$
• $5, 12, 13$
• $8, 15, 17$
• $7, 24, 25$

Если в задаче катеты 9 и 12 — сразу видно, что это тройка $3,4,5$, умноженная на 3, значит гипотенуза $15$.

Диагональ прямоугольника/квадрата тоже находится через теорему Пифагора, так как диагональ делит фигуру на два прямоугольных треугольника: $$d = \sqrt{a^2+b^2}$$

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, делит его пополам и образует прямоугольный треугольник с боковой стороной как гипотенузой: $$h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$ где $a$ — боковая сторона, $b$ — основание.

Как применять

Пример 1. Нахождение гипотенузы Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите гипотенузу. $$c = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$$

Пример 2. Нахождение катета Гипотенуза равна 13, один катет равен 5. Найдите второй катет. $$a = \sqrt{13^2-5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12$$

Пример 3. Диагональ прямоугольника Стороны прямоугольника 5 и 12. Найдите диагональ. $$d = \sqrt{5^2+12^2} = \sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$$

Пример 4. Высота в равнобедренном треугольнике Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, основание равно 12. Найдите высоту, проведённую к основанию. $$h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8$$

Типичные ошибки

• Применение теоремы к треугольнику, который не является прямоугольным — сначала нужно убедиться, что угол действительно прямой.
• Путают, какая сторона гипотенуза: гипотенуза всегда больше каждого катета и лежит против прямого угла.
• При нахождении катета вычитают неправильно: не $c^2-a^2$, а именно из квадрата гипотенузы вычитают квадрат известного катета.
• Забывают, что при вычислении высоты равнобедренного треугольника основание делится пополам, а не берётся целиком.
• Ошибки при извлечении корня — стоит помнить таблицу квадратов чисел от 1 до 20 и распознавать пифагоровы тройки.

Где встречается на экзамене

• Задание 15 — прямая задача на вычисление стороны прямоугольного треугольника или диагонали прямоугольника/квадрата.
• Задание 23 — планиметрическая задача с построением дополнительных отрезков (высоты, диагонали) для применения теоремы.
• Задание 24 — доказательство свойств фигур, где теорема Пифагора используется как один из шагов.
• Задание 25 — задачи на нахождение элементов сложных фигур (трапеции, ромбы, многоугольники), где теорема применяется несколько раз для разных вспомогательных треугольников.