Задание 23 ОГЭ: геометрия — углы, треугольники, четырёхугольники, окружности

Что проверяет задание

Задание 23 — геометрическая задача из второй части ОГЭ по математике. Она проверяет способность применять теоремы планиметрии (об углах, треугольниках, четырёхугольниках, окружностях) для вычисления неизвестного элемента фигуры — угла, отрезка или соотношения между ними. Здесь важен не только числовой ответ, но и логически выстроенное решение: нужно объяснить, какое свойство или теорема использована на каждом шаге.

Задача обычно опирается на комбинацию из двух–трёх фактов: например, свойство касательной плюс теорема о вписанном угле, или свойство биссектрисы плюс сумма углов треугольника. Поэтому подготовка к заданию 23 — это не изучение одной темы, а умение быстро распознавать, какие теоремы применимы к конкретной конфигурации на чертеже.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Формулировка почти всегда содержит слово «Найдите» и указание на конкретный угол, отрезок или величину. К задаче прилагается рисунок (или подробное текстовое описание фигуры), на котором отмечены данные условия — величины углов, точки касания, центры окружностей.

За полное и обоснованное решение задания 23 дают 2 балла. Если ответ верный, но обоснование неполное или содержит небольшую неточность, ставится 1 балл. При отсутствии решения или при верном ответе без всякого объяснения (просто число) баллы не засчитываются, так как оцениваются именно шаги рассуждения. Поэтому решение нужно записывать развёрнуто: указывать, какое свойство или теорема используется, и как из известных данных получается искомая величина.

Что нужно знать

• Сумма углов треугольника: $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$.
• Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним: $\angle_{ext} = \angle A + \angle B$.
• В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90°$.
• Свойства равнобедренного треугольника: углы при основании равны, высота, биссектриса и медиана к основанию совпадают.
• Сумма углов четырёхугольника равна $360°$.
• Во вписанном в окружность четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180°$.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $OA \perp CA$.
• Отрезки двух касательных, проведённых из одной точки, равны.
• Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается: $\angle AOB = \overset{\frown}{AB}$.
• Вписанный угол равен половине центрального угла (или половине дуги), опирающегося на ту же дугу: $\angle ACB = \dfrac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$.
• Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой внутри этого угла.
• Угол между двумя секущими (или касательной и секущей), проведёнными из внешней точки, равен полуразности дуг, заключённых между ними.
• Признаки подобия треугольников (по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам).
• Биссектриса угла делит его на два равных угла.

Методы решения

1. Работа с суммой углов треугольника (темы «Углы» и «Треугольники»). Если известны два угла треугольника, третий находится по формуле $\angle C = 180° - \angle A - \angle B$. Мини-пример: если $\angle A=50°$, $\angle B=70°$, то $\angle C = 180-50-70=60°$.

2. Угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из одной вершины. Через прямоугольный треугольник, образованный высотой, выражается угол между высотой и стороной, а через определение биссектрисы — угол между биссектрисой и той же стороной. Разность этих углов даёт искомый угол: $\angle DBH = \dfrac{|\angle A - \angle C|}{2}$. Мини-пример: при $\angle A=30°,\angle C=50°$ угол между высотой и биссектрисой из вершины $B$ равен $10°$.

3. Использование свойства касательной (тема «Окружности»). Если из точки проведена касательная к окружности, то радиус в точку касания перпендикулярен ей, и возникает прямоугольный треугольник, где легко находить недостающий угол через сумму углов треугольника. Мини-пример: если угол между касательной и хордой равен $35°$, дуга, заключённая внутри этого угла, равна $70°$.

4. Вписанные и центральные углы. Если нужно найти угол, опирающийся на дугу с известной величиной, применяется теорема о вписанном угле: $\angle ACB=\dfrac12\overset\frown{AB}$. Мини-пример: дуга $AB=80°$, тогда вписанный угол, опирающийся на неё, равен $40°$.

5. Свойства вписанного четырёхугольника (тема «Четырёхугольники»). Если четырёхугольник вписан в окружность, сумма противоположных углов равна $180°$, что позволяет находить неизвестный угол при известном противоположном. Мини-пример: если один угол вписанного четырёхугольника равен $110°$, противоположный равен $70°$.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно перечитать условие и перенести все данные на чертёж: отметить величины углов, точки касания, центр окружности, обозначения точек.
2. Определить, какая фигура задействована (треугольник, четырёхугольник, окружность) и какие теоремы к ней применимы.
3. Найти вспомогательные углы или отрезки, используя базовые формулы (сумма углов, свойство биссектрисы/высоты, свойство касательной и т. д.).
4. Построить логическую цепочку: от известных величин через один-два промежуточных шага перейти к искомой.
5. Проверить полученный результат на разумность (угол не может быть отрицательным или больше $180°$, сумма углов в фигуре должна совпадать с теоретической).
6. Оформить решение: указать, какое свойство используется на каждом шаге, и записать окончательный ответ.

Разбор примеров

Пример 1. Сторона $CA$ угла $ACO$ касается окружности с центром $O$, дуга $AD$, заключённая внутри угла $ACO$, равна $100°$. Найдите угол $ACO$.

Шаг 1. Так как $CA$ — касательная, радиус $OA$, проведённый в точку касания, перпендикулярен ей: $\angle OAC = 90°$.

Шаг 2. Прямая $CO$ проходит через центр, поэтому обе точки её пересечения с окружностью — концы диаметра. Значит на прямой точки расположены так: $C$, ближняя точка пересечения, $O$, $D$ — то есть $C$ и $D$ лежат по разные стороны от $O$.

Шаг 3. Центральный угол $\angle AOD$ равен дуге $AD$: $\angle AOD = 100°$.

Шаг 4. Так как $C$ и $D$ находятся по разные стороны от $O$ на одной прямой, углы $\angle AOC$ и $\angle AOD$ смежные: $\angle AOC = 180° - \angle AOD = 180° - 100° = 80°$.

Шаг 5. В треугольнике $AOC$ сумма углов равна $180°$: $\angle ACO = 180° - \angle OAC - \angle AOC = 180° - 90° - 80° = 10°$.

Ответ: $10°$.

Пример 2. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 40°$, $\angle C = 60°$. Найдите угол между высотой $BH$ и биссектрисой $BD$, проведёнными из вершины $B$.

Шаг 1. Найдём угол $B$: $\angle B = 180° - 40° - 60° = 80°$.

Шаг 2. Высота $BH$ образует прямой угол с прямой $AC$ в точке $H$. В прямоугольном треугольнике $BHC$ угол при $C$ известен: $\angle HBC = 90° - \angle C = 90° - 60° = 30°$.

Шаг 3. Биссектриса $BD$ делит угол $B$ пополам: $\angle DBC = \dfrac{\angle B}{2} = \dfrac{80°}{2} = 40°$.

Шаг 4. Искомый угол между высотой и биссектрисой — разность углов, отложенных от стороны $BC$: $\angle DBH = \angle DBC - \angle HBC = 40° - 30° = 10°$.

Ответ: $10°$.

Пример 3. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 20°$, $\angle C = 60°$. Найдите угол между высотой $BH$ и биссектрисой $BD$.

Шаг 1. Найдём угол $B$: $\angle B = 180° - 20° - 60° = 100°$.

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике $BHC$: $\angle HBC = 90° - \angle C = 90° - 60° = 30°$.

Шаг 3. Биссектриса делит угол $B$ пополам: $\angle DBC = \dfrac{100°}{2} = 50°$.

Шаг 4. $\angle DBH = \angle DBC - \angle HBC = 50° - 30° = 20°$.

Ответ: $20°$.

Во всех подобных задачах верна общая закономерность $\angle DBH = \dfrac{|\angle A - \angle C|}{2}$ — её удобно держать в уме для самопроверки, но на экзамене нужно приводить полное обоснование через прямоугольный треугольник и свойство биссектрисы, а не просто подставлять готовую формулу без пояснений.

Типичные ошибки и ловушки

• Путают, какая точка на окружности ближняя, а какая дальняя при пересечении прямой с окружностью, из-за чего неверно определяют, смежные ли углы при центре.
• Забывают, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, и ищут угол более длинным способом.
• Не учитывают расположение высоты: в тупоугольном треугольнике основание высоты может лежать вне отрезка, и тогда порядок вычитания углов меняется — нужно внимательно смотреть на конфигурацию.
• Складывают углы там, где нужно вычитать (или наоборот), не сверяя, от какой стороны отсчитываются оба угла.
• Путают формулы вписанного и центрального угла: считают вписанный угол равным дуге, а не её половине.
• Ограничиваются только числовым ответом без объяснения шагов, из-за чего теряют баллы даже при верном результате.
• Не проверяют ответ на согласованность с чертежом: угол не должен быть отрицательным, больше развёрнутого или противоречить сумме углов фигуры.

Как готовиться

Начните с повторения базовых теорем: сумма углов треугольника и четырёхугольника, свойства касательной, вписанного и центрального угла. Составьте короткий справочник формул, аналогичный разделу «Что нужно знать», и держите его перед глазами при первых тренировках.

Разбирайте задачи по подтемам отдельно: сначала «Углы» и «Треугольники» (высоты, биссектрисы, медианы), затем «Четырёхугольники» (в том числе вписанные и описанные), затем «Окружности» (касательные, хорды, секущие). После того как каждая подтема отработана отдельно, переходите к смешанным задачам, где применяется сразу несколько теорем.

Обязательно решайте задачи с полным письменным решением — не просто вычисляйте ответ в уме, а фиксируйте, какое свойство применяется на каждом шаге. Это тренирует навык обоснования, необходимый для получения полного балла.

Регулярно возвращайтесь к разобранным типам задач (угол между высотой и биссектрисой, угол между касательной и хордой, углы вписанного четырёхугольника) — они повторяются в разных вариациях, и уверенное владение стандартными приёмами позволяет решать задание 23 быстро и без ошибок.