Задание 23: Геометрические задачи на вычисление

Формулировка почти всегда содержит слово «Найдите» и указание на конкретный угол, отрезок или величину. К задаче прилагается рисунок (или подробное текстовое описание фигуры), на котором отмечены данные условия — величины углов, точки касания, центры окружностей.

…

• Сумма углов треугольника: $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$.
• Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним: $\angle_{ext} = \angle A + \angle B$.
• В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90°$.
• Свойства равнобедренного треугольника: углы при основании равны, высота, биссектриса и медиана к основанию совпадают.
• Сумма углов четырёхугольника равна $360°$.
• Во вписанном в окружность четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180°$.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $OA \perp CA$.
• Отрезки двух касательных, проведённых из одной точки, равны.
• Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается: $\angle AOB = \overset{\frown}{AB}$.
• Вписанный угол равен половине центрального угла (или половине дуги), опирающегося на ту же дугу: $\angle ACB = \dfrac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$.
• Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой внутри этого угла.
• Угол между двумя секущими (или касательной и секущей), проведёнными из внешней точки, равен полуразности дуг, заключённых между ними.
• Признаки подобия треугольников (по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам).
• Биссектриса угла делит его на два равных угла.

1. Внимательно перечитать условие и перенести все данные на чертёж: отметить величины углов, точки касания, центр окружности, обозначения точек.
2. Определить, какая фигура задействована (треугольник, четырёхугольник, окружность) и какие теоремы к ней применимы.
3. Найти вспомогательные углы или отрезки, используя базовые формулы (сумма углов, свойство биссектрисы/высоты, свойство касательной и т. д.).
4. Построить логическую цепочку: от известных величин через один-два промежуточных шага перейти к искомой.
5. Проверить полученный результат на разумность (угол не может быть отрицательным или больше $180°$, сумма углов в фигуре должна совпадать с теоретической).
6. Оформить решение: указать, какое свойство используется на каждом шаге, и записать окончательный ответ.