Задание 24 ОГЭ по математике: геометрия на доказательство — гайд

Что проверяет задание

Задание 24 — это задача на доказательство геометрического факта. Проверяется умение работать с определениями и теоремами планиметрии: находить нужные свойства фигур, строить логическую цепочку рассуждений и грамотно оформлять доказательство. В отличие от вычислительных задач, здесь не нужно находить число — нужно объяснить, почему утверждение верно, опираясь на аксиомы и изученные теоремы.

Чаще всего в условии дана фигура (треугольник, четырёхугольник, окружность или их сочетание) с определёнными характеристиками, а требуется доказать какое-то свойство: равенство отрезков или углов, параллельность, перпендикулярность, принадлежность точки прямой, вид четырёхугольника и так далее.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка: «В треугольнике $ABC$ ... . Докажите, что ...» или «Точки ... лежат на окружности ... . Докажите, что ...». Условие всегда содержит исходные данные (равенство сторон, углов, параллельность, касание и тому подобное), а вывод — то, что требуется доказать.

Задание оценивается в 2 балла. Полный балл (2) ставится, если доказательство полное, логически верное и все шаги обоснованы ссылками на теоремы или определения. 1 балл дают, если доказательство содержит верную идею и в целом решает задачу, но есть небольшие пробелы в обосновании или не рассмотрены отдельные случаи. 0 баллов — если решение неверно или отсутствует.

Важно: чертёж не является доказательством. Нужно словами и формулами показать логическую цепочку от данных к выводу.

Что нужно знать

• Сумма углов треугольника: $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$
• Признаки равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам, по трём сторонам
• Признаки подобия треугольников: по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам
• Свойства равнобедренного треугольника: углы при основании равны; медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают
• Средняя линия треугольника: параллельна третьей стороне и равна её половине
• Теорема Пифагора: $a^2+b^2=c^2$ для прямоугольного треугольника
• Свойства параллелограмма: противоположные стороны и углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам
• Признаки параллелограмма (обратные утверждения о сторонах и диагоналях)
• Свойства прямоугольника, ромба, квадрата: диагонали равны, перпендикулярны или делят углы пополам в зависимости от фигуры
• Свойства трапеции: средняя линия равна полусумме оснований, $m=\dfrac{a+b}{2}$
• Сумма углов выпуклого $n$-угольника: $S=180^\circ\cdot(n-2)$
• Угол правильного $n$-угольника: $\alpha=\dfrac{180^\circ(n-2)}{n}$
• Центральный угол правильного $n$-угольника: $\dfrac{360^\circ}{n}$
• Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$
• Угол между касательной и хордой равен половине заключённой дуги
• Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной

Методы решения

1. Метод равных треугольников. Если нужно доказать равенство отрезков или углов, часто достаточно найти два треугольника, содержащих эти элементы, и доказать их равенство по одному из признаков. Пример: в треугольниках $ABD$ и $CBD$ дано $AB=CB$, $\angle ABD=\angle CBD$, сторона $BD$ общая. По первому признаку $\triangle ABD=\triangle CBD$, значит $AD=CD$.

2. Метод подобия треугольников. Применяется, когда нужно доказать пропорциональность отрезков или равенство углов между фигурами разного размера. Пример: если $\angle A$ общий у треугольников $ABC$ и $AED$, а $\angle ABC=\angle AED$, то треугольники подобны по двум углам, откуда $\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AD}$.

3. Работа со свойствами вписанных и центральных углов. Применяется в задачах про окружности: перевод условий про углы и дуги друг в друга. Пример: если $\angle ABC$ и $\angle ADC$ опираются на одну и ту же дугу $AC$, то $\angle ABC=\angle ADC$.

4. Метод дополнительных построений. Если данных элементов не хватает, проводят вспомогательную линию — высоту, диагональ, радиус, отрезок, соединяющий центр окружности с точкой касания. Пример: чтобы доказать свойство трапеции, проводят через вершину прямую, параллельную боковой стороне, получая параллелограмм и треугольник, для которых уже применимы известные признаки.

5. Доказательство вида четырёхугольника через признаки. Чтобы доказать, что четырёхугольник — параллелограмм, ромб или прямоугольник, проверяют выполнение одного из признаков: равенство и параллельность противоположных сторон, равенство диагоналей и так далее. Пример: если в четырёхугольнике $ABCD$ $AB\parallel CD$ и $AB=CD$, то по признаку $ABCD$ — параллелограмм.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитать условие, выделить, что дано и что нужно доказать.
2. Сделать аккуратный чертёж, отметить на нём все данные величины: равные отрезки, углы, параллельные прямые.
3. Сформулировать цель доказательства в терминах чертежа: какие треугольники, углы или отрезки нужно связать.
4. Подобрать подходящую теорему или признак, который соединяет данные с выводом. Если прямой связи нет — подумать о дополнительном построении.
5. Выстроить цепочку рассуждений от условия к заключению, каждый шаг подкрепляя ссылкой на теорему или определение.
6. Проверить, что все использованные факты действительно следуют из условия, а не додуманы.
7. Кратко и чётко записать доказательство, избегая лишних слов, но не пропуская логические связки.

Разбор примеров

Пример 1. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведена медиана $BM$ к стороне $AC$. Докажите, что $BM$ является также высотой и биссектрисой треугольника.

Решение. По условию $AB=BC$ (треугольник равнобедренный), $M$ — середина $AC$, значит $AM=MC$. Отрезок $BM$ общий для треугольников $ABM$ и $CBM$. Таким образом, треугольники $ABM$ и $CBM$ равны по трём сторонам: $AB=CB$, $AM=MC$, $BM=BM$.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AMB=\angle CMB$. Так как $M$ лежит на отрезке $AC$, углы $\angle AMB$ и $\angle CMB$ смежные, их сумма равна $180^\circ$. Если два смежных угла равны, каждый из них равен $90^\circ$: $\angle AMB=\angle CMB=90^\circ$. Значит, $BM \perp AC$, то есть $BM$ — высота.

Также из равенства треугольников следует $\angle ABM=\angle CBM$, то есть $BM$ делит угол $B$ пополам — является биссектрисой. Что и требовалось доказать.

Пример 2. В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой угла $A$. Докажите, что $ABCD$ — ромб.

Решение. Так как $ABCD$ — параллелограмм, $AB\parallel CD$. Тогда $\angle BAC=\angle ACD$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.

По условию $AC$ — биссектриса угла $A$, значит $\angle BAC=\angle CAD$.

Из двух равенств получаем: $\angle CAD=\angle ACD$. Значит, треугольник $ACD$ равнобедренный с основанием $AD$, откуда $CD=AD$.

Но в параллелограмме противоположные стороны равны: $AB=CD$ и $AD=BC$. Тогда $AB=CD=AD=BC$, то есть все стороны параллелограмма равны. По определению это ромб. Что и требовалось доказать.

Пример 3. Из точки $A$, лежащей вне окружности с центром $O$, проведены две касательные, касающиеся окружности в точках $B$ и $C$. Докажите, что $AB=AC$ и $OA$ — биссектриса угла $BAC$.

Решение. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $\angle OBA=\angle OCA=90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $OBA$ и $OCA$: $OB=OC$ (радиусы окружности), $OA$ — общая гипотенуза. По признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету) $\triangle OBA=\triangle OCA$.

Из равенства треугольников следует $AB=AC$ — первое утверждение доказано.

Также из равенства треугольников следует $\angle OAB=\angle OAC$, то есть отрезок $OA$ делит угол $BAC$ пополам, значит $OA$ — биссектриса угла $BAC$. Что и требовалось доказать.

Типичные ошибки и ловушки

• Принимать за данное то, что нужно доказать («порочный круг»): например, использовать равенство сторон, которое ещё не обосновано.
• Ссылаться на «очевидность» вместо конкретной теоремы или признака — на ОГЭ такие формулировки не засчитываются.
• Путать вписанный и центральный угол, забывать, что вписанный угол равен половине дуги, а не самой дуге.
• Использовать признак равенства или подобия треугольников не полностью: например, утверждать равенство по двум сторонам без указания угла между ними.
• Забывать проверить, что рассматриваемые углы действительно смежные, накрест лежащие или соответственные — это зависит от параллельности прямых, которую тоже нужно обосновать.
• Делать чертёж неточным, из-за чего появляются ложные предположения, например, что отрезки равны только потому, что выглядят так на рисунке.
• Не доводить рассуждение до конца: получить промежуточный факт и забыть явно сформулировать финальный вывод, совпадающий с тем, что требовалось доказать.

Как готовиться

Начать стоит с повторения списка определений и теорем по всем четырём подтемам: треугольники, четырёхугольники, окружности, правильные многоугольники. Полезно составить собственную шпаргалку с формулировками признаков и свойств — не для использования на экзамене, а для того, чтобы прочно их запомнить.

Далее нужно решать задачи по каждой подтеме отдельно, разбирая образцовые доказательства из демонстрационных вариантов и открытого банка заданий ОГЭ. При разборе обращайте внимание не только на итоговый ответ, но и на формулировки шагов — как именно записана ссылка на теорему.

Полезно тренироваться формулировать доказательства письменно, а не устно: на экзамене оценивается именно записанный текст. Постепенно вырабатывается привычка сразу писать «по признаку...», «так как... значит...», что делает решение чётким и полным.

Стоит также разбирать задачи с дополнительными построениями — это одна из самых сложных тем, где чаще всего теряются баллы. Тренировка на разных типах фигур (равнобедренные и прямоугольные треугольники, параллелограммы и трапеции, окружности с касательными и хордами) позволяет быстрее узнавать нужный метод в незнакомой задаче.

Наконец, полезно решать задания на время, приближенное к экзаменационному, чтобы привыкнуть быстро анализировать чертёж и выбирать подходящую теорему без долгих колебаний.