Задание 25 ОГЭ: геометрия — треугольники, четырёхугольники, окружности

Что проверяет задание

Задание 25 — геометрическая задача повышенного уровня сложности с развёрнутым ответом. Она проверяет умение:

• строить точный чертёж по словесному описанию;
• находить неочевидные связи между элементами фигуры (углами, отрезками, дугами);
• применять теоремы о треугольниках, четырёхугольниках и окружностях в комбинации;
• проводить полное логическое рассуждение и оформлять решение с обоснованием, а не просто угадывать ответ.

Задача может требовать доказательства утверждения либо вычисления числового значения (длины, площади, угла). Часто фигура включает несколько объектов сразу — например, окружность, вписанную в треугольник, или трапецию с дополнительной прямой.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичные формулировки: «Докажите, что...», «Найдите длину отрезка...», «Найдите стороны треугольника, если известно, что...». Условие часто даёт нестандартное сочетание элементов (например, биссектриса и медиана перпендикулярны и равны) — это сигнал, что решение потребует дополнительного построения.

Задание оценивается в 2 балла:

• 2 балла — верное полное решение с обоснованием всех шагов;
• 1 балл — верный ход решения с недочётом (например, арифметическая ошибка при правильной идее);
• 0 баллов — решение отсутствует, содержит ошибку в методе или не обосновано.

Важно: даже верный числовой ответ без объяснения, откуда он взялся, может не получить максимального балла.

Что нужно знать

Треугольники

• Сумма углов треугольника: $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.
• Теорема Пифагора: $c^2=a^2+b^2$ для прямоугольного треугольника.
• Медиана делит противоположную сторону пополам; три медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2:1$ от вершины.
• Биссектриса угла делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AB}{BC}$.
• Длина биссектрисы из вершины $B$: $l_b^2=ac\left(1-\left(\dfrac{b}{a+c}\right)^2\right)$, где $a,c$ — стороны, прилежащие к $B$, $b$ — противоположная сторона.
• Признаки подобия треугольников (по двум углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам).

Четырёхугольники

• Средняя линия трапеции: $m=\dfrac{a+b}{2}$, где $a,b$ — основания.
• Прямая, параллельная основаниям трапеции и делящая боковые стороны в отношении $m:n$ (считая от большего основания), имеет длину $EF=\dfrac{n\cdot a+m\cdot b}{m+n}$.
• В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, противоположные стороны равны.
• В ромбе диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов; в прямоугольнике диагонали равны.

Окружности

• Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
• Угол между касательной и хордой равен половине заключённой дуги.
• Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.
• Степень точки: для секущих из одной точки $PA\cdot PB=PC\cdot PD$.
• Радиус вписанной окружности: $r=\dfrac{S}{p}$, где $p$ — полупериметр.
• Радиус описанной окружности: $R=\dfrac{abc}{4S}$.

Методы решения

1. Метод вспомогательной симметрии (треугольники с биссектрисой). Если биссектриса связана с другим отрезком (перпендикулярна, равна ему), полезно отразить вершину относительно биссектрисы — она является осью симметрии, переводящей одну сторону угла в другую. Основание перпендикуляра на биссектрисе становится серединой отрезка «вершина — её отражение». Мини-пример: если биссектриса угла $B$ перпендикулярна отрезку из вершины $A$, то основание перпендикуляра — середина $AA'$, где $A'$ лежит на стороне $BC$.

2. Метод подобия и пропорций (трапеции). Прямая, параллельная основаниям, при продолжении боковых сторон до точки пересечения создаёт подобные треугольники: отношения отрезков на боковых сторонах равны. Мини-пример: средняя линия трапеции с основаниями 10 и 20 равна $\dfrac{10+20}{2}=15$.

3. Метод площадей (комбинации фигур). Если фигура состоит из частей, искомую величину выражают через отношение площадей при общей высоте или основании. Мини-пример: треугольники с общей высотой — площади относятся как основания.

4. Метод касательных и степени точки (окружности). При касательных и секущих применяют равенство отрезков касательных и формулу степени точки. Мини-пример: $t^2=PA\cdot PB$ для касательной $t$ и секущей через $A,B$.

5. Координатный метод (универсальный). При сложной конфигурации (одновременно медиана и биссектриса с перпендикулярностью и равенством) удобно ввести систему координат и превратить геометрию в алгебру.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитать условие, выписать данные и отношения.
2. Построить аккуратный чертёж, отметить равные и перпендикулярные элементы.
3. Определить подходящий метод (симметрия, подобие, степень точки, координаты).
4. Ввести обозначения неизвестных.
5. Провести дополнительное построение, если нужно.
6. Составить уравнения, связывающие известные и искомые величины.
7. Решить систему, аккуратно работая с корнями и дробями.
8. Проверить ответ на согласованность (положительность длин, неравенство треугольника).
9. Оформить решение с указанием используемых теорем на каждом шаге.

Разбор примеров

Пример 1. В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и равны $L=96$. Найти стороны.

Шаг 1. Пусть $F$ — точка пересечения $BE$ и $AD$. Так как $AD\perp BE$ и $AD$ проходит через $A$, отрезок $AD$ — перпендикуляр из $A$ на прямую $BE$, значит $F$ — основание этого перпендикуляра.

Шаг 2. Отразим $A$ относительно $BE$. Так как $BE$ — биссектриса угла $B$, образ луча $BA$ — луч $BC$, поэтому отражение $A'$ лежит на прямой $BC$ с $BA'=BA=c$. Точка $F$ — середина $AA'$.

Шаг 3. Координаты: $B(0,0)$, $C(a,0)$, $D(a/2,0)$, $A'(c,0)$, $A(x,y)$.

Шаг 4. $F=\left(\dfrac{x+c}{2},\dfrac{y}{2}\right)$ — одновременно середина $AD$, откуда следует $a=2c$, то есть $BC=2AB$.

Шаг 5. Из $AD=L$: $(x-a/2)^2+y^2=L^2$, из $AB=c$: $x^2+y^2=c^2$. Подставив $a=2c$, находим $x=c-\dfrac{L^2}{2c}$.

Шаг 6. По формуле биссектрисы: $BE^2=2c^2\left(1-\dfrac{AC^2}{9c^2}\right)$, а $AC^2=c^2+2L^2$ (получено из координат). Получаем уравнение: $$2c^2-\frac{2}{9}(c^2+2L^2)=L^2.$$

Шаг 7. Решаем: $16c^2=13L^2$, значит $c=\dfrac{L\sqrt{13}}{4}$.

Шаг 8. Итог: $AB=\dfrac{L\sqrt{13}}{4}$, $BC=\dfrac{L\sqrt{13}}{2}$, $AC=\dfrac{3L\sqrt5}{4}$.

Шаг 9. При $L=96$: $AB=24\sqrt{13}$, $BC=48\sqrt{13}$, $AC=72\sqrt5$ — совпадает с ответом.

Пример 2. Та же задача при $L=84$. По выведенным формулам: $$AB=\frac{84\sqrt{13}}{4}=21\sqrt{13},\quad BC=42\sqrt{13},\quad AC=\frac{3\cdot84\sqrt5}{4}=63\sqrt5.$$ Это демонстрирует ценность общей формулы: второй пример решается почти без вычислений.

Пример 3. В трапеции $ABCD$ прямая, параллельная основаниям, пересекает боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$. Даны $AD=42$, $BC=14$, $CF:DF=4:3$. Найти $EF$.

Шаг 1. Так как $EF\parallel AD\parallel BC$, прямая делит обе боковые стороны в одном отношении.

Шаг 2. Вершины $A,D$ принадлежат большему основанию, $B,C$ — меньшему, значит $AE:EB=DF:FC$.

Шаг 3. Из $CF:DF=4:3$ следует $DF:FC=3:4$, значит $AE:EB=3:4$.

Шаг 4. Формула для отрезка, делящего боковые стороны в отношении $m:n$ (m — доля у большего основания): $$EF=\frac{n\cdot AD+m\cdot BC}{m+n}.$$

Шаг 5. Подставляем $m=3$, $n=4$: $EF=\dfrac{4\cdot42+3\cdot14}{7}=\dfrac{210}{7}=30$.

Ответ: $EF=30$.

Типичные ошибки и ловушки

• Путают отношение отрезков биссектрисы: пишут $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{BC}{AB}$ вместо $\dfrac{AB}{BC}$.
• В трапециях неправильно сопоставляют вершины боковых сторон основаниям, из-за чего отношение берётся «в другую сторону».
• Путают весь отрезок (медиану, биссектрису) с его частью до точки пересечения.
• В формуле длины биссектрисы путают противоположную сторону с прилежащими.
• Не проверяют существование конфигурации (неравенство треугольника, положительность длин).
• Допускают ошибки при работе с корнями, не приводят ответ к простейшему виду.
• Записывают только числовой ответ без обоснования метода — теряют баллы даже при верном ответе.
• В задачах с окружностями путают вписанный и центральный угол, забывают множитель $\tfrac12$.

Как готовиться

• Разбирать каждую подтему отдельно и выучить для неё несколько опорных конфигураций с готовыми приёмами.
• Тренироваться самостоятельно выводить формулы (длину биссектрисы, медианы) — это помогает быстрее находить приём в новой задаче.
• Решать задачи с нестандартными сочетаниями условий (перпендикулярность и равенство одновременно) — это типично для задания 25.
• Освоить координатный метод как запасной вариант, когда чисто геометрический приём не находится сразу.
• Практиковаться в оформлении полного решения с указанием применяемых теорем на каждом шаге.
• Разбирать критерии оценивания и типовые причины потери баллов.