Задание 25: Геометрические задачи повышенной сложности

Типичные формулировки: «Докажите, что...», «Найдите длину отрезка...», «Найдите стороны треугольника, если известно, что...». Условие часто даёт нестандартное сочетание элементов (например, биссектриса и медиана перпендикулярны и равны) — это сигнал, что решение потребует дополнительного построения.

Задание оценивается в 2 балла:

• 2 балла — верное полное решение с обоснованием всех шагов;
• 1 балл — верный ход решения с недочётом (например, арифметическая ошибка при правильной идее);
• 0 баллов — решение отсутствует, содержит ошибку в методе или не обосновано.

…

Треугольники

• Сумма углов треугольника: $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.
• Теорема Пифагора: $c^2=a^2+b^2$ для прямоугольного треугольника.
• Медиана делит противоположную сторону пополам; три медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2:1$ от вершины.
• Биссектриса угла делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AB}{BC}$.
• Длина биссектрисы из вершины $B$: $l_b^2=ac\left(1-\left(\dfrac{b}{a+c}\right)^2\right)$, где $a,c$ — стороны, прилежащие к $B$, $b$ — противоположная сторона.
• Признаки подобия треугольников (по двум углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам).

Четырёхугольники

• Средняя линия трапеции: $m=\dfrac{a+b}{2}$, где $a,b$ — основания.
• Прямая, параллельная основаниям трапеции и делящая боковые стороны в отношении $m:n$ (считая от большего основания), имеет длину $EF=\dfrac{n\cdot a+m\cdot b}{m+n}$.
• В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, противоположные стороны равны.
• В ромбе диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов; в прямоугольнике диагонали равны.

Окружности

• Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
• Угол между касательной и хордой равен половине заключённой дуги.
• Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.
• Степень точки: для секущих из одной точки $PA\cdot PB=PC\cdot PD$.
• Радиус вписанной окружности: $r=\dfrac{S}{p}$, где $p$ — полупериметр.
• Радиус описанной окружности: $R=\dfrac{abc}{4S}$.

1. Внимательно прочитать условие, выписать данные и отношения.
2. Построить аккуратный чертёж, отметить равные и перпендикулярные элементы.
3. Определить подходящий метод (симметрия, подобие, степень точки, координаты).
4. Ввести обозначения неизвестных.
5. Провести дополнительное построение, если нужно.
6. Составить уравнения, связывающие известные и искомые величины.
7. Решить систему, аккуратно работая с корнями и дробями.
8. Проверить ответ на согласованность (положительность длин, неравенство треугольника).
9. Оформить решение с указанием используемых теорем на каждом шаге.