Марафон: задание 25

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника ABC .

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 84. Найдите стороны треугольника ABC.

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает ее боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD  =  42, BC  =  14, CF : DF  =  4 : 3.

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 25, а основание BC равно 5. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Основания трапеции относятся как 1 : 3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания.

Четырехугольник ABCD со сторонами AB  =  25 и CD  =  16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причем ∠AKB  =  60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.

Углы при одном из оснований трапеции равны 85° и 5°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 1. Найдите основания трапеции.

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC  =  6, а расстояние от точки K до стороны AB равно 6.

Окружности радиусов 14 и 35 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D  — на второй. При этом AC и BD  — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 14, BC = 12.

В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 7 : 3 . Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади четырехугольника KPCM.

В выпуклом четырехугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырехугольника NPQM можно описать окружность, PQ  =  14, SQ = 4 .

Середина M стороны AD выпуклого четырехугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC  =  10, а углы B и C четырехугольника равны соответственно 112° и 113°.

В треугольнике ABC известны длины сторон AB  =  84, AC  =  98, точка O  — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если

На стороне BC остроугольного треугольника ABC (AB  ≠  AC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD  =  27, MD  =  18, H  — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 49 и 21, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB  =  20.