Задание 15 ОГЭ: треугольники, углы и их элементы

Что проверяет задание

Задание 15 проверяет умение работать с базовыми свойствами треугольников: находить неизвестные углы, применять теорему о сумме углов треугольника, использовать свойства биссектрисы, медианы, высоты, а также распознавать частные случаи — равнобедренный и прямоугольный треугольники. Здесь не требуется знание сложных теорем (типа теоремы косинусов), но нужна точность в применении простых фактов и аккуратность в вычислениях. Часто задание сопровождается рисунком, и важно правильно "прочитать" условие по картинке: какие отрезки равны, какие углы отмечены, что является биссектрисой или высотой.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичные формулировки:

• «В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 48^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$.»
• «В треугольнике два угла равны $54^\circ$ и $58^\circ$. Найдите его третий угол.»
• «В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ угол при вершине $B$ равен... Найдите угол при основании.»
• «В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен... Найдите другой острый угол.»

Задание находится в первой части экзамена, относится к базовому уровню сложности. За верный ответ дают 1 балл. Ответ — число (значение угла в градусах), которое нужно вписать без указания единиц измерения. Задание не предполагает записи решения — важен только итоговый числовой ответ, но для его получения нужно провести верные логические рассуждения.

Что нужно знать

• Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.
• Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
• Биссектриса угла делит его на два равных угла: если $AD$ — биссектриса угла $BAC$, то $\angle BAD = \angle DAC = \dfrac{\angle BAC}{2}$.
• Медиана треугольника соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
• Высота треугольника — перпендикуляр из вершины к противоположной стороне (или её продолжению).
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны между собой.
• Если в равнобедренном треугольнике известен угол при вершине $\beta$, то углы при основании равны $\dfrac{180^\circ-\beta}{2}$.
• Если известен угол при основании $\alpha$, то угол при вершине равен $180^\circ-2\alpha$.
• В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию из вершины, совпадают.
• В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$, а сумма двух острых углов равна $90^\circ$: $\angle A+\angle B=90^\circ$, если $\angle C=90^\circ$.
• В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны по $45^\circ$ каждый.
• Углы, смежные (образующие в сумме развёрнутый угол), в сумме дают $180^\circ$.
• Вертикальные углы равны между собой.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне при пересечении параллельных прямых секущей (внутренние односторонние), равна $180^\circ$; накрест лежащие углы равны.

Методы решения

Метод 1. Сумма углов треугольника. Если известны два угла треугольника, третий находится по формуле $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$. Пример: углы равны $50^\circ$ и $70^\circ$, третий угол равен $180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ$.

Метод 2. Свойство биссектрисы. Биссектриса делит угол пополам, поэтому, зная полный угол, легко найти половину, и наоборот. Пример: угол при вершине равен $70^\circ$, биссектриса делит его на два угла по $35^\circ$.

Метод 3. Свойства равнобедренного треугольника. Углы при основании равны. Если дан угол при вершине, оставшиеся $180^\circ$ делятся пополам между основаниями. Пример: угол при вершине $40^\circ$, тогда каждый угол при основании равен $\dfrac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ$.

Метод 4. Свойства прямоугольного треугольника. Один угол равен $90^\circ$, сумма двух других — $90^\circ$. Если известен один острый угол, второй находится вычитанием из $90^\circ$. Пример: острый угол $37^\circ$, второй острый угол равен $90^\circ-37^\circ=53^\circ$.

Метод 5. Внешний угол треугольника. Внешний угол равен сумме двух внутренних, не прилежащих к нему. Удобно использовать, когда в условии фигурирует угол вне треугольника, образованный продолжением стороны. Пример: внутренние углы при основании равны $65^\circ$ и $50^\circ$, тогда внешний угол при третьей вершине равен $65^\circ+50^\circ=115^\circ$.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитать условие и, если есть рисунок, сопоставить буквенные обозначения с изображением: какие углы даны, какие отрезки являются биссектрисой, медианой или высотой.
2. Определить тип треугольника: общий, равнобедренный или прямоугольный — это подсказывает, какие свойства применять.
3. Записать известные величины и то, что нужно найти, используя стандартные обозначения углов.
4. Выбрать подходящую формулу или свойство (сумма углов $180^\circ$, деление угла биссектрисой пополам, равенство углов при основании и т.д.).
5. Составить уравнение или простую цепочку вычислений и найти искомый угол.
6. Проверить, что полученное значение логично: сумма углов треугольника действительно $180^\circ$, углы неотрицательны и меньше $180^\circ$.
7. Записать ответ в градусах, без указания единицы измерения (если это требуется форматом ответа).

Разбор примеров

Пример 1. Условие: в треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 48^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$.

Шаг 1. По определению биссектриса угла делит его на два равных угла. $AD$ — биссектриса угла $BAC$, значит она делит его на углы $BAD$ и $DAC$.

Шаг 2. Так как биссектриса делит угол пополам, справедливо равенство: $$\angle BAD = \angle DAC = \frac{\angle BAC}{2}.$$

Шаг 3. Подставляем известное значение угла: $$\angle BAD = \frac{48^\circ}{2} = 24^\circ.$$

Шаг 4. Проверка: сумма $\angle BAD + \angle DAC = 24^\circ + 24^\circ = 48^\circ = \angle BAC$ — совпадает с условием.

Ответ: $24$.

Пример 2. Условие: в треугольнике два угла равны $54^\circ$ и $58^\circ$. Найдите его третий угол.

Шаг 1. Используем свойство суммы углов треугольника: $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ.$$

Шаг 2. Известны два угла: $\angle A = 54^\circ$, $\angle B = 58^\circ$. Подставляем в формулу и находим третий угол: $$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 54^\circ - 58^\circ.$$

Шаг 3. Выполняем вычисление: $$180^\circ - 54^\circ = 126^\circ,$$ $$126^\circ - 58^\circ = 68^\circ.$$

Шаг 4. Проверка: $54^\circ+58^\circ+68^\circ=180^\circ$ — верно.

Ответ: $68$.

Пример 3. Условие: в треугольнике два угла равны $36^\circ$ и $73^\circ$. Найдите его третий угол.

Шаг 1. Снова применяем теорему о сумме углов треугольника: $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ.$$

Шаг 2. Подставляем данные значения $\angle A = 36^\circ$, $\angle B = 73^\circ$: $$\angle C = 180^\circ - 36^\circ - 73^\circ.$$

Шаг 3. Вычисляем последовательно: $$180^\circ - 36^\circ = 144^\circ,$$ $$144^\circ - 73^\circ = 71^\circ.$$

Шаг 4. Проверка: $36^\circ + 73^\circ + 71^\circ = 180^\circ$ — равенство верно, значит вычисление правильное.

Ответ: $71$.

Типичные ошибки и ловушки

• Путают биссектрису с медианой или высотой: в общем треугольнике эти отрезки различны, и только в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, совпадает с медианой и высотой.
• Забывают, что биссектриса делит угол именно пополам, а не в каком-то ином соотношении, и пытаются искать искомый угол через другие пропорции.
• При работе с равнобедренным треугольником путают, какой угол является углом при основании, а какой — углом при вершине; ошибка возникает при неверном определении основания по рисунку.
• В прямоугольном треугольнике забывают, что сумма именно двух острых углов равна $90^\circ$, а не всех трёх углов сразу (общая сумма всё равно $180^\circ$, но легко перепутать, куда добавлять прямой угол).
• Арифметические ошибки при вычитании из $180^\circ$ или $90^\circ$, особенно при последовательном вычитании двух чисел — рекомендуется выполнять вычисления по шагам, а не в одно действие.
• Неверное считывание рисунка: путают, какой угол отмечен дугой, какой отрезок обозначен как биссектриса или высота, что приводит к применению неверного свойства.
• Забывают проверить итоговый ответ на логичность: угол треугольника не может быть больше $180^\circ$ или отрицательным, а сумма всех трёх углов обязательно должна давать $180^\circ$.

Как готовиться

Начните с чёткого повторения определений: угол, биссектриса, медиана, высота, равнобедренный и прямоугольный треугольник. Важно не просто помнить формулировки, а уметь узнавать эти элементы на рисунке — потренируйтесь размечать чертежи самостоятельно, обозначая известные и искомые углы. Далее отработайте базовый навык — нахождение третьего угла треугольника по двум известным: решите подряд десять-пятнадцать однотипных задач с разными числами, чтобы вычисление суммы и вычитания градусов стало автоматическим и безошибочным. После этого переходите к задачам с биссектрисой: сначала простые случаи деления угла пополам, затем более сложные, где биссектриса используется в сочетании с внешним углом или свойствами равнобедренного треугольника. Отдельно отработайте задачи на равнобедренный треугольник — научитесь быстро переходить от угла при вершине к углу при основании и обратно, используя формулу $\alpha = \dfrac{180^\circ-\beta}{2}$. Также решите набор задач на прямоугольный треугольник, чтобы закрепить факт: сумма острых углов равна $90^\circ$. Полезно вести короткий список формул на отдельном листе и периодически проверять себя по нему без подсказок. В конце подготовки решите несколько вариантов заданий подряд на время, чтобы приучить себя быстро определять тип треугольника и нужное свойство по условию, не тратя время на раздумья над очевидными фактами.