Задание 15: Треугольники и их элементы

Типичные формулировки:

• «В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 48^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$.»
• «В треугольнике два угла равны $54^\circ$ и $58^\circ$. Найдите его третий угол.»
• «В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ угол при вершине $B$ равен... Найдите угол при основании.»
• «В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен... Найдите другой острый угол.»

…

• Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.
• Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
• Биссектриса угла делит его на два равных угла: если $AD$ — биссектриса угла $BAC$, то $\angle BAD = \angle DAC = \dfrac{\angle BAC}{2}$.
• Медиана треугольника соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
• Высота треугольника — перпендикуляр из вершины к противоположной стороне (или её продолжению).
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны между собой.
• Если в равнобедренном треугольнике известен угол при вершине $\beta$, то углы при основании равны $\dfrac{180^\circ-\beta}{2}$.
• Если известен угол при основании $\alpha$, то угол при вершине равен $180^\circ-2\alpha$.
• В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию из вершины, совпадают.
• В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$, а сумма двух острых углов равна $90^\circ$: $\angle A+\angle B=90^\circ$, если $\angle C=90^\circ$.
• В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны по $45^\circ$ каждый.
• Углы, смежные (образующие в сумме развёрнутый угол), в сумме дают $180^\circ$.
• Вертикальные углы равны между собой.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне при пересечении параллельных прямых секущей (внутренние односторонние), равна $180^\circ$; накрест лежащие углы равны.

1. Внимательно прочитать условие и, если есть рисунок, сопоставить буквенные обозначения с изображением: какие углы даны, какие отрезки являются биссектрисой, медианой или высотой.
2. Определить тип треугольника: общий, равнобедренный или прямоугольный — это подсказывает, какие свойства применять.
3. Записать известные величины и то, что нужно найти, используя стандартные обозначения углов.
4. Выбрать подходящую формулу или свойство (сумма углов $180^\circ$, деление угла биссектрисой пополам, равенство углов при основании и т.д.).
5. Составить уравнение или простую цепочку вычислений и найти искомый угол.
6. Проверить, что полученное значение логично: сумма углов треугольника действительно $180^\circ$, углы неотрицательны и меньше $180^\circ$.
7. Записать ответ в градусах, без указания единицы измерения (если это требуется форматом ответа).