Свойства треугольников — справочник для ОГЭ

Коротко о главном

Треугольник — фигура, у которой сумма углов всегда равна $180^\circ$. От вида треугольника (равнобедренный, равносторонний, прямоугольный) зависят дополнительные свойства сторон, углов и специальных отрезков (медиан, биссектрис, высот). Эти свойства нужны для доказательства утверждений (№19), вычисления длин и углов (№15), а также в задачах на построение и практических задачах (№23–24).

Определения и формулы/правила

Понятие	Формула/свойство
Сумма углов треугольника	$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$
Неравенство треугольника	любая сторона меньше суммы двух других: $a<b+c$
Внешний угол	равен сумме двух внутренних, не смежных с ним
Равнобедренный треугольник	углы при основании равны; медиана, биссектриса и высота к основанию совпадают
Равносторонний треугольник	все углы равны $60^\circ$, все стороны равны
Прямоугольный треугольник	сумма острых углов $=90^\circ$; гипотенуза — наибольшая сторона
Теорема Пифагора	$c^2=a^2+b^2$ (c — гипотенуза)
Медиана	делит противоположную сторону пополам; точка пересечения медиан делит каждую в отношении $2:1$ от вершины
Биссектриса	делит угол пополам; делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$
Высота	перпендикуляр из вершины к противоположной стороне (или её продолжению)
Средняя линия	соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине: $MN=\dfrac{1}{2}AC$
Признаки равенства треугольников	по двум сторонам и углу между ними (СУС); по стороне и двум прилежащим углам (УСУ); по трём сторонам (ССС)
Признаки подобия	по двум углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам
Площадь треугольника	$S=\dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$; $S=\dfrac{1}{2}a\cdot h_a$

Как применять

Пример 1. В треугольнике $ABC$ угол $A=50^\circ$, угол $B=70^\circ$. Найдите угол $C$.

Решение: $C=180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ$.

Пример 2. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен $40^\circ$. Найдите угол при основании.

Решение: сумма углов при основании $=180^\circ-40^\circ=140^\circ$, углы равны, значит каждый $=70^\circ$.

Пример 3. Доказать, что в треугольнике медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также высотой.

Решение: пусть $AB=AC$, $M$ — середина $BC$. Треугольники $ABM$ и $ACM$ равны по трём сторонам ($AB=AC$, $BM=CM$, $AM$ — общая). Значит углы $AMB$ и $AMC$ равны, а так как они смежные, каждый равен $90^\circ$. Следовательно, $AM$ — высота.

Типичные ошибки

• Путают, какая сторона лежит против большего угла (против большего угла лежит большая сторона).
• Забывают проверить неравенство треугольника при подборе сторон.
• В равнобедренном треугольнике путают, какая сторона является основанием, а какие — боковыми.
• Считают, что биссектриса всегда делит сторону пополам (это верно только в равнобедренном треугольнике для биссектрисы к основанию).
• Ошибочно применяют признаки равенства без проверки всех условий (например, путают СУС и УСС).

Где встречается на экзамене

• №15 — вычисление углов и длин в треугольниках, использование теоремы Пифагора и свойств равнобедренных треугольников.
• №19 — доказательство утверждений о равенстве или свойствах треугольников с опорой на признаки равенства и подобия.
• №23 — построения и вычисления с использованием медиан, биссектрис, высот в более сложных геометрических конфигурациях.
• №24 — доказательные задачи, где свойства треугольников используются как часть более общего доказательства (например, в сочетании с окружностями или четырёхугольниками).