Задание 19 ОГЭ: анализ геометрических высказываний — полный гайд

Что проверяет задание

Задание 19 проверяет умение работать с геометрическими утверждениями: узнавать верные свойства фигур, отличать их от похожих, но неверных формулировок, и применять логику к числовым или графическим данным. По сути это тест на теоретическую грамотность — нужно точно помнить определения и свойства треугольников, четырёхугольников, окружностей, а также уметь анализировать расположение чисел на координатной прямой (иногда в это задание добавляют утверждения о числах, оформленные в той же логике «верно/неверно»).

Главная особенность — здесь не нужно ничего вычислять с нуля. Нужно проверить каждое утверждение по отдельности и решить, истинно оно или ложно. Ошибка в одном пункте — и весь ответ засчитывается как неверный, поэтому важна внимательность и чёткое знание теории.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка: «Укажите номера верных утверждений» или «Какое из следующих утверждений неверно». Даётся список из 3–4 пунктов, пронумерованных цифрами. Иногда прилагается рисунок (например, координатная прямая с отмеченными точками).

Ответ записывается как последовательность цифр без пробелов и запятых, в порядке возрастания (например, «12» или «13»), либо как одна цифра, если нужно найти единственное неверное утверждение.

За задание дают 1 балл, засчитывается только полностью верный ответ — частичного балла нет. Это делает задание рискованным: даже если из трёх утверждений верно определены два из трёх, но ошиблись в одном — балл не засчитывается.

Что нужно знать

Список фактов, которые должны быть «на автомате»:

• Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны; биссектриса, медиана и высота, проведённые из вершины к основанию, совпадают (это одна и та же линия).
• В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$, все биссектрисы, медианы и высоты совпадают.
• Признаки подобия треугольников: по двум углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам.
• Признаки равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними; по стороне и двум прилежащим углам; по трём сторонам.
• Вертикальные углы, образованные пересечением двух прямых, равны между собой.
• Смежные углы в сумме дают $180^\circ$.
• Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.
• Свойства параллелограмма: противоположные стороны равны и параллельны, диагонали делятся точкой пересечения пополам, противоположные углы равны.
• Свойства прямоугольника: все углы прямые, диагонали равны, но не обязательно перпендикулярны (перпендикулярность диагоналей — свойство квадрата, а не любого прямоугольника).
• Свойства ромба: все стороны равны, диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов.
• Свойства квадрата: объединяет свойства ромба и прямоугольника.
• Свойства трапеции: только одна пара сторон параллельна (основания); в равнобедренной трапеции углы при основании равны, диагонали равны.
• Все точки окружности равноудалены от центра; это расстояние равно радиусу $R$.
• Диаметр окружности равен $2R$ и является наибольшей хордой.
• Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$.
• Правила чтения координатной прямой: если точка $a$ левее точки $b$, то $a < b$; расстояние между точками равно модулю разности координат $|a-b|$.
• Знак произведения и суммы чисел зависит от их знаков: произведение двух чисел с разными знаками отрицательно, произведение двух отрицательных чисел положительно, квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Методы решения

Метод 1. Прямая проверка по определению. Для утверждений о фигурах (треугольник, параллелограмм, ромб и т.д.) нужно вспомнить точное определение или теорему и сравнить с формулировкой в задании. Мини-пример: утверждение «В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны» — сравниваем с определением прямоугольника (только равенство диагоналей и прямые углы), перпендикулярность не гарантирована — утверждение ложно.

Метод 2. Поиск контрпримера. Если утверждение звучит слишком общо («любой», «каждый», «в любом»), стоит попытаться придумать фигуру, которая нарушает утверждение. Мини-пример: «В любом четырёхугольнике диагонали равны» — рисуем произвольный четырёхугольник (не прямоугольник), видим, что диагонали разной длины — утверждение ложно.

Метод 3. Работа с частными случаями равнобедренного треугольника. Многие задания эксплуатируют свойства равнобедренного/равностороннего треугольника. Нужно чётко разделять: биссектриса из вершины угла при основании — это не то же самое, что биссектриса из вершины, противолежащей основанию. Только вторая совпадает с медианой и высотой. Мини-пример: «Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части» — это верно, так как эта биссектриса одновременно медиана.

Метод 4. Анализ расположения точек на координатной прямой. Если дан рисунок с точками $a$ и $b$, сначала определяем знаки чисел и их примерное положение (левее/правее нуля, ближе/дальше от нуля), затем проверяем каждое числовое утверждение через свойства знаков и неравенств. Мини-пример: если $a$ отрицательное и близко к нулю, а $b$ положительное, то $ab < 0$ и утверждение «$a+b>0$» может быть верным, если $|b|>|a|$.

Метод 5. Логическая проверка обратных и общих формулировок. Утверждения вида «если... то...» проверяются через известные теоремы (прямые, а не обратные, если не сказано иное). Нужно быть внимательным: не путать признак подобия по двум углам (верно всегда) с ложными обратными утверждениями типа «если треугольники подобны, то они равны».

Алгоритм решения по шагам

1. Прочитать все утверждения целиком, отметить ключевые слова: «любой», «некоторый», «всегда», «равнобедренный», «прямоугольник» и т.д. — это часто подсказка на подвох.
2. Разобрать утверждения по одному, не сравнивая их друг с другом на этом этапе.
3. Для каждого утверждения вспомнить точную формулировку соответствующего определения или теоремы из списка выше.
4. Проверить, есть ли контрпример — особенно если в формулировке слово «любой» или «каждый».
5. Если есть рисунок (координатная прямая, чертёж), сначала внимательно снять с него данные: знаки чисел, приблизительные значения, взаимное расположение точек или отрезков.
6. Отметить для себя результат по каждому пункту: верно (В) или неверно (Н).
7. Собрать номера верных утверждений в порядке возрастания и записать ответ без пробелов и запятых.
8. Перепроверить хотя бы одно утверждение повторно — часто ошибка кроется именно в кажущемся «очевидном» пункте.

Разбор примеров

Пример 1.

Условие: даны три утверждения.

1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Вертикальные углы равны.
3. Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.

Шаг 1. Утверждение 1 — это признак подобия треугольников по двум углам. Это одна из основных теорем геометрии, она верна всегда: если у двух треугольников совпадают два угла (а значит, и третий, так как сумма углов равна $180^\circ$), треугольники подобны. Отмечаем: верно.

Шаг 2. Утверждение 2 — свойство вертикальных углов, образованных пересечением двух прямых. Это классическая теорема планиметрии: вертикальные углы всегда равны. Отмечаем: верно.

Шаг 3. Утверждение 3 содержит слово «любая» — сигнал искать контрпример. В равнобедренном треугольнике совпадением медианы, биссектрисы и высоты обладает только та биссектриса, что проведена из вершины, противолежащей основанию (то есть из вершины при угле между равными сторонами). Биссектрисы, проведённые из двух других вершин (при основании), медианами не являются. Значит, утверждение неверно, так как речь идёт о «любой» биссектрисе, а не о конкретной.

Шаг 4. Собираем верные номера: 1 и 2. Записываем в порядке возрастания.

Ответ: 12.

Пример 2.

Условие: на координатной прямой отмечены числа $a$ и $b$ (по рисунку видно, что $a$ — отрицательное число, находящееся левее $-2$, а $b$ — число, близкое к $-1$, то есть между $-2$ и $-1$, либо аналогичное расположение, при котором оба числа отрицательны, но $|a| > |b|$). Даны утверждения:

1. $a+b<0$
2. $-2<b-1<-1$
3. $a^2 b<0$
4. $-a<0$

Шаг 1. Определяем знаки и примерные значения по рисунку: пусть $a$ — отрицательное число, лежащее дальше от нуля (например, около $-3$), а $b$ — отрицательное число, ближе к нулю (например, около $-1{,}5$).

Шаг 2. Проверяем утверждение 1: сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна, значит $a+b<0$ — верно.

Шаг 3. Проверяем утверждение 2: если $b$ находится в промежутке, например, между $-1$ и $-2$ (судя по расположению на прямой), то $b-1$ находится в промежутке между $-2$ и $-3$. Формулировка $-2<b-1<-1$ соответствует именно такому расположению $b$ на исходной прямой — это подтверждается конкретным положением точки на рисунке, поэтому утверждение верно.

Шаг 4. Проверяем утверждение 3: $a^2$ — квадрат числа, всегда неотрицателен (положителен, если $a \ne 0$). Так как $b$ отрицательно, произведение $a^2 \cdot b$ будет отрицательным (положительное число умножить на отрицательное). Значит, $a^2 b<0$ — верно.

Шаг 5. Проверяем утверждение 4: так как $a$ отрицательно, то $-a$ — положительное число, значит утверждение «$-a<0$» неверно.

Шаг 6. Единственное неверное утверждение — под номером 4.

Ответ: 4.

Пример 3.

Условие: даны три утверждения.

1. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.
2. В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
3. Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.

Шаг 1. Утверждение 1 описывает именно тот частный случай биссектрисы равнобедренного треугольника, который совпадает с медианой (проведена из вершины между равными сторонами, к основанию). По свойству равнобедренного треугольника эта линия одновременно медиана, биссектриса и высота, значит она делит основание пополам. Утверждение верно.

Шаг 2. Утверждение 2 содержит слово «любой» — ищем контрпример. Диагонали прямоугольника равны между собой, но перпендикулярны только в частном случае — когда прямоугольник является квадратом. В обычном (не квадратном) прямоугольнике диагонали пересекаются под углом, отличным от $90^\circ$. Значит, утверждение неверно.

Шаг 3. Утверждение 3 — это прямое определение окружности: множество всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки (центра) на расстояние, равное радиусу. Утверждение верно по определению.

Шаг 4. Собираем верные номера: 1 и 3.

Ответ: 13.

Типичные ошибки и ловушки

• Путаница со словом «любой». Утверждения, начинающиеся с «любой», «каждый», «всякий», часто оказываются ложными, потому что достаточно одного контрпримера, чтобы их опровергнуть. Не стоит машинально считать такие утверждения верными только потому, что похожая формулировка без «любой» верна для частного случая.
• Смешивание свойств прямоугольника и квадрата/ромба. Перпендикулярность диагоналей — это свойство ромба (и квадрата как его частного случая), но не любого прямоугольника. Равенство диагоналей — свойство прямоугольника, но не любого параллелограмма.
• Ошибка с биссектрисой равнобедренного треугольника. Совпадение биссектрисы, медианы и высоты работает только для той биссектрисы, что проведена из вершины, противолежащей основанию. Биссектрисы из других двух вершин этим свойством не обладают.
• Невнимательность к знакам чисел на координатной прямой. Нужно точно определить, какое число левее, какое правее, прежде чем делать выводы о сумме, произведении или разности. Ошибка в считывании рисунка тянет за собой ошибку во всех связанных пунктах.
• Забывание, что квадрат числа всегда неотрицателен. При анализе выражений вида $a^2 b$ или $a^2+b^2$ важно помнить, что знак всего выражения определяется другими множителями, а не квадратом.
• Проверка не всех пунктов. Если сразу «увидели» верный ответ по интуиции, не проверив каждое утверждение отдельно, велик риск ошибиться — задание оценивается только при полностью правильном ответе.
• Неправильный порядок записи ответа. Номера верных утверждений нужно указывать в порядке возрастания, без пробелов, запятых и лишних символов.

Как готовиться

Составить и выучить наизусть краткий справочник по свойствам основных фигур: треугольников (равнобедренный, равносторонний, прямоугольный), четырёхугольников (параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция) и окружности. Важно не просто прочитать формулировки, а несколько раз воспроизвести их своими словами и нарисовать фигуру для каждого свойства — визуальная память здесь работает очень эффективно.

Полезно завести отдельный список «ловушек»: фраз, которые часто искажают верное утверждение до неверного (замена «равнобедренный» на «произвольный», «прямоугольник» на «любой четырёхугольник», добавление слова «всегда» там, где это не так). При решении тренировочных вариантов специально отмечать, какие слова в формулировке стали решающими.

Для числовых утверждений с координатной прямой стоит отдельно потренироваться в чтении рисунков: определять знак числа, сравнивать модули, оценивать результат сложения, вычитания и умножения без точных вычислений — на уровне «плюс или минус». Это отдельный навык, который тренируется на 10–15 однотипных заданиях.

При тренировке важно решать задания сериями по 5–10 штук, засекая время: на задание 19 в реальном экзамене отводится немного времени, и нужно привыкнуть быстро вспоминать нужную теорему без долгих раздумий. После каждой серии полезно разбирать ошибки — не просто смотреть правильный ответ, а находить, какое именно правило было забыто или неверно применено, и повторно фиксировать его в справочнике.

Накануне экзамена стоит ещё раз пробежаться по всему списку определений и свойств из раздела «Что нужно знать» — это компактный набор фактов, который закрывает большинство вариантов задания 19.