Окружность, круг и их элементы — теория для ОГЭ

Коротко о главном

Окружность — это линия (граница), а круг — это плоская фигура, ограниченная окружностью. Все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра — это расстояние называется радиусом. Основные формулы связывают радиус $r$, диаметр $d$, длину окружности $C$ и площадь круга $S$.

Определения и формулы

Элемент	Определение	Формула
Радиус $r$	Отрезок от центра до любой точки окружности	—
Диаметр $d$	Отрезок через центр, соединяющий две точки окружности	$d = 2r$
Хорда	Отрезок, соединяющий две точки окружности (не обязательно через центр)	—
Дуга	Часть окружности между двумя точками	Длина дуги: $l = \dfrac{\pi r \alpha}{180^\circ}$
Касательная	Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку	Касательная $\perp$ радиусу в точке касания
Секущая	Прямая, пересекающая окружность в двух точках	—
Центральный угол	Угол с вершиной в центре, опирающийся на дугу	равен градусной мере дуги
Вписанный угол	Угол с вершиной на окружности, опирающийся на дугу	вдвое меньше центрального угла на ту же дугу

Основные формулы: $$C = 2\pi r = \pi d$$ $$S = \pi r^2$$

Важные свойства:

• Диаметр — самая длинная хорда, равен $2r$.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Если из одной точки к окружности проведены две касательные, то отрезки касательных от этой точки до точек касания равны.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$.
• Равные хорды стягивают равные дуги и равные центральные углы.
• Перпендикуляр из центра к хорде делит хорду пополам.

Как применять

Пример 1. Радиус окружности $r = 6$ см. Найдите длину окружности и площадь круга.

Решение: $$C = 2\pi r = 2\pi \cdot 6 = 12\pi \text{ см} \approx 37{,}7 \text{ см}$$ $$S = \pi r^2 = \pi \cdot 36 = 36\pi \text{ см}^2 \approx 113{,}1 \text{ см}^2$$

Пример 2. Из точки $A$, находящейся вне окружности с центром $O$ и радиусом $r = 3$, проведена касательная $AB$, где $B$ — точка касания. Известно, что $AO = 5$. Найдите длину касательной $AB$.

Решение: так как $OB \perp AB$, треугольник $OBA$ прямоугольный с гипотенузой $AO$: $$AB = \sqrt{AO^2 - OB^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$$

Пример 3. Центральный угол, опирающийся на дугу, равен $80^\circ$. Найдите вписанный угол, опирающийся на ту же дугу.

Решение: вписанный угол вдвое меньше центрального: $$\angle_{вп} = \dfrac{80^\circ}{2} = 40^\circ$$

Типичные ошибки

• Путают радиус и диаметр — забывают, что $d = 2r$, и подставляют диаметр вместо радиуса в формулы $C$ и $S$.
• Считают, что вписанный угол равен центральному, а не вдвое меньше его.
• Забывают, что касательная перпендикулярна радиусу именно в точке касания, а не в произвольной точке.
• При вычислении длины дуги подставляют угол в радианах вместо градусов (или наоборот) без пересчёта коэффициента.
• Путают хорду и диаметр, считая любую хорду наибольшей.
• Неверно применяют теорему о равенстве отрезков касательных, забывая, что она работает только для касательных из одной точки.

Где встречается на экзамене

• Задание 16 — вычисление элементов окружности и круга по чертежу: углы, хорды, касательные, часто в связке с треугольником или четырёхугольником.
• Задание 19 — задачи на анализ утверждений о свойствах окружности, хорд, касательных и углов.
• Задание 23 — построение или доказательство с использованием окружности, вписанных и центральных углов, касательных.
• Задание 24 — доказательство теорем и решение задач с окружностью, вписанной или описанной вокруг многоугольника, применение свойств хорд и дуг.