Задание 16 ОГЭ: окружность, углы, вписанные и описанные фигуры

Что проверяет задание

Задание 16 проверяет умение работать с базовыми объектами окружности: радиусом, диаметром, хордой, касательной и секущей, а также умение находить углы — центральные и вписанные. Дополнительно проверяется знание свойств окружностей, вписанных в многоугольники и описанных вокруг них. По сути, это задание на применение геометрических фактов и умение видеть в чертеже равнобедренные треугольники, вертикальные и смежные углы, симметрию.

В отличие от задач на построение доказательства, здесь требуется только численный ответ — градусная мера угла, длина отрезка или значение радиуса. Но без понимания теории быстро прийти к верному числу не получится: нужно уверенно применять теорему о вписанном угле и свойства радиусов как равных отрезков.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Задание всегда сопровождается рисунком (или условием, которое явно на него отсылает). Типичные формулировки:

• «В окружности с центром O проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен ... . Найдите угол OCD».
• «Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Центральный угол AOD равен ... . Найдите вписанный угол ACB».
• «К окружности проведена касательная в точке A, известен угол между касательной и хордой. Найдите вписанный угол».

Задание оценивается в 2 балла, ответ вводится в виде числа (обычно градусы угла или длина в тех же единицах, что дано в условии). Ошибка в вычислении хотя бы на одном шаге даёт неверный итоговый ответ, промежуточные баллы не начисляются, поэтому важна аккуратность на каждом этапе.

Что нужно знать

• Радиус — отрезок от центра окружности до любой точки на ней; все радиусы одной окружности равны: $OA = OB = OC = R$.
• Диаметр — хорда, проходящая через центр; равен двум радиусам: $d = 2R$. Диаметр делит окружность на две равные полуокружности.
• Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
• Касательная — прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку; касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания: $OA \perp l$.
• Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках.
• Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности; равен градусной мере дуги, на которую опирается: $\angle AOB = \overset{\frown}{AB}$.
• Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, стороны которого — хорды; равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: $\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны друг другу.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$ (угол, опирающийся на полуокружность — прямой).
• Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними: $\angle = \dfrac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$.
• Отрезки касательных, проведённых из одной внешней точки к окружности, равны.
• Радиус вписанной в треугольник окружности: $r = \dfrac{S}{p}$, где $S$ — площадь, $p$ — полупериметр.
• Для прямоугольного треугольника: $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $c$ — гипотенуза.
• Радиус окружности, описанной около треугольника: $R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{abc}{4S}$.
• Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник со стороной $a$ и числом сторон $n$: $r = \dfrac{a}{2}\cot\dfrac{180^\circ}{n}$.
• Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника: $R = \dfrac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}$.
• Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$; вертикальные углы равны; смежные углы в сумме дают $180^\circ$.

Методы решения

1. Метод равнобедренных треугольников через радиусы. Если две вершины треугольника соединены с центром окружности радиусами, такой треугольник — равнобедренный, значит углы при основании равны. Пример: если $OA = OB = R$, то $\angle OAB = \angle OBA$. Это самый частый приём при работе с диаметрами и хордами.

2. Теорема о вписанном угле. Если нужно найти вписанный угол, а известен центральный угол на той же дуге (или наоборот), применяем соотношение $\angle_{впис} = \dfrac{1}{2}\angle_{центр}$. Пример: центральный угол $\angle AOB = 80^\circ$, тогда любой вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$, равен $40^\circ$.

3. Свойства касательной. Угол между касательной и радиусом в точке касания — $90^\circ$; угол между касательной и хордой равен половине дуги между ними. Пример: если касательная образует с хордой угол $50^\circ$, то дуга, заключённая между ними, равна $100^\circ$, а вписанный угол, опирающийся на эту же дугу с другой стороны, равен $50^\circ$.

4. Вписанная окружность многоугольника. Для треугольника используется формула $r = S/p$; для прямоугольного треугольника — упрощённая формула через катеты и гипотенузу. Пример: катеты $3$ и $4$, гипотенуза $5$, тогда $r = \dfrac{3+4-5}{2} = 1$.

5. Описанная окружность многоугольника. Применяется теорема синусов $R = \dfrac{a}{2\sin A}$ или формула через площадь. Пример: сторона треугольника $a = 6$, противолежащий угол $A = 30^\circ$, тогда $R = \dfrac{6}{2\sin 30^\circ} = \dfrac{6}{1} = 6$.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитайте условие и отметьте на чертеже все данные: центр, радиусы, диаметры, углы, известные отрезки.
2. Найдите на рисунке равнобедренные треугольники, образованные радиусами — это ключ к большинству задач на центральные и вписанные углы.
3. Определите, какие углы — вертикальные, смежные или вписанные на одну дугу; выпишите соответствующие равенства.
4. Составьте уравнение или цепочку равенств, используя сумму углов треугольника ($180^\circ$) или свойство вписанного/центрального угла.
5. Вычислите искомую величину, проверьте, что ответ соответствует смыслу задачи (угол не может быть больше $180^\circ$, радиус положителен).
6. Если задача связана с вписанной или описанной окружностью многоугольника, определите подходящую формулу и подставьте известные данные.

Разбор примеров

Пример 1. В окружности с центром $O$ проведены диаметры $AD$ и $BC$, угол $OAB$ равен $70^\circ$. Найдите угол $OCD$.

Шаг 1. Так как $AD$ и $BC$ — диаметры, они пересекаются в центре $O$, и $OA = OB = OC = OD = R$.

Шаг 2. Треугольник $AOB$ — равнобедренный ($OA = OB$), значит углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA = 70^\circ$.

Шаг 3. Сумма углов треугольника $AOB$ равна $180^\circ$, поэтому $$\angle AOB = 180^\circ - 70^\circ - 70^\circ = 40^\circ.$$

Шаг 4. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ — вертикальные (образованы пересечением прямых $AD$ и $BC$ в точке $O$), значит $$\angle COD = \angle AOB = 40^\circ.$$

Шаг 5. Треугольник $COD$ также равнобедренный ($OC = OD = R$), поэтому его углы при основании равны: $$\angle OCD = \angle ODC = \dfrac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ.$$

Ответ: $70^\circ$.

Пример 2. В окружности с центром $O$ проведены диаметры $AD$ и $BC$, угол $OCD$ равен $30^\circ$. Найдите угол $OAB$.

Шаг 1. Треугольник $COD$ равнобедренный ($OC = OD = R$), поэтому $\angle OCD = \angle ODC = 30^\circ$.

Шаг 2. Находим угол при вершине: $$\angle COD = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ.$$

Шаг 3. Угол $\angle AOB$ — вертикальный к $\angle COD$, значит $$\angle AOB = 120^\circ.$$

Шаг 4. Треугольник $AOB$ равнобедренный ($OA = OB = R$), поэтому $$\angle OAB = \angle OBA = \dfrac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ.$$

Ответ: $30^\circ$.

Эти два примера показывают, что задача полностью симметрична: независимо от того, какой из двух углов ($OAB$ или $OCD$) дан, ответ находится одинаковой цепочкой рассуждений через вертикальные углы и равнобедренные треугольники, образованные радиусами.

Пример 3. В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $110^\circ$. Найдите вписанный угол $ACB$.

Шаг 1. Так как $BD$ — диаметр, точки $B$ и $D$ лежат на одной прямой, проходящей через $O$. Значит углы $\angle AOD$ и $\angle AOB$ — смежные (их сумма равна $180^\circ$, так как они образуют развёрнутый угол вдоль прямой $BD$).

Шаг 2. Находим центральный угол $AOB$: $$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ.$$

Шаг 3. Угол $\angle AOB$ — центральный угол, опирающийся на дугу $AB$. Угол $\angle ACB$ — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу $AB$ (точка $C$ лежит на окружности, не на дуге $AB$).

Шаг 4. По теореме о вписанном угле: $$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB = \dfrac{1}{2}\cdot 70^\circ = 35^\circ.$$

Ответ: $35^\circ$.

Этот пример демонстрирует другой ключевой приём — переход от центрального угла к вписанному через деление на два, а также использование того, что диаметр создаёт развёрнутый угол $180^\circ$.

Типичные ошибки и ловушки

• Путают центральный и вписанный угол, забывая множитель $\dfrac{1}{2}$ — либо делят, когда нужно умножать, либо наоборот.
• Не замечают равнобедренность треугольника, образованного двумя радиусами, и пытаются искать угол другим, более длинным путём, допуская арифметические ошибки.
• Путают вертикальные и смежные углы: вертикальные равны, смежные в сумме дают $180^\circ$ — важно точно определить взаимное расположение прямых на чертеже.
• Забывают, что диаметр — это прямая линия через центр, то есть углы по разные стороны от диаметра являются смежными, а не произвольными.
• Неверно определяют, на какую дугу опирается вписанный угол, особенно когда на чертеже несколько хорд и диаметров — стоит мысленно (или на черновике) выделить нужную дугу цветом или дугой-скобкой.
• Используют формулу вписанной или описанной окружности без проверки типа треугольника — например, применяют формулу для прямоугольного треугольника к треугольнику общего вида.
• Не проверяют правдоподобность ответа: угол окружности не может быть отрицательным или больше $180^\circ$, а радиус — не может быть отрицательным числом.
• Забывают исходные данные после нескольких промежуточных вычислений и подставляют в формулу не то, что нашли, а то, что дано в условии.

Как готовиться

Лучший способ подготовки — тренировка на чертежах: возьмите лист бумаги и для каждой задачи рисуйте окружность с центром, обозначайте все радиусы одинаковыми штрихами, чтобы визуально закрепить, что они равны. Это помогает быстро находить равнобедренные треугольники.

Разберите отдельно блоки задач: сначала все задачи на диаметры и вертикальные углы (как в примерах 1 и 2), затем задачи на связь центрального и вписанного угла (как в примере 3), потом задачи на касательные и, наконец, на вписанные/описанные окружности многоугольников. Такая последовательность позволяет закрепить каждый метод отдельно, прежде чем смешивать их в комбинированных задачах.

Полезно завести таблицу формул (вписанная окружность треугольника, описанная окружность треугольника, формулы для правильных многоугольников) и повторять её перед решением новых задач, пока формулы не станут автоматическими.

При решении каждой задачи проговаривайте вслух или письменно, почему тот или иной угол равен другому — это дисциплинирует рассуждение и снижает число ошибок по невнимательности. После разбора 15–20 задач разных типов приёмы становятся узнаваемыми с первого взгляда на чертёж, и решение задания 16 занимает не больше двух-трёх минут.