Задание 16: Окружность, круг и их элементы

Задание всегда сопровождается рисунком (или условием, которое явно на него отсылает). Типичные формулировки:

• «В окружности с центром O проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен ... . Найдите угол OCD».
• «Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Центральный угол AOD равен ... . Найдите вписанный угол ACB».
• «К окружности проведена касательная в точке A, известен угол между касательной и хордой. Найдите вписанный угол».

…

• Радиус — отрезок от центра окружности до любой точки на ней; все радиусы одной окружности равны: $OA = OB = OC = R$.
• Диаметр — хорда, проходящая через центр; равен двум радиусам: $d = 2R$. Диаметр делит окружность на две равные полуокружности.
• Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
• Касательная — прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку; касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания: $OA \perp l$.
• Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках.
• Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности; равен градусной мере дуги, на которую опирается: $\angle AOB = \overset{\frown}{AB}$.
• Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, стороны которого — хорды; равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: $\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны друг другу.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$ (угол, опирающийся на полуокружность — прямой).
• Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними: $\angle = \dfrac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$.
• Отрезки касательных, проведённых из одной внешней точки к окружности, равны.
• Радиус вписанной в треугольник окружности: $r = \dfrac{S}{p}$, где $S$ — площадь, $p$ — полупериметр.
• Для прямоугольного треугольника: $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $c$ — гипотенуза.
• Радиус окружности, описанной около треугольника: $R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{abc}{4S}$. …

1. Внимательно прочитайте условие и отметьте на чертеже все данные: центр, радиусы, диаметры, углы, известные отрезки.
2. Найдите на рисунке равнобедренные треугольники, образованные радиусами — это ключ к большинству задач на центральные и вписанные углы.
3. Определите, какие углы — вертикальные, смежные или вписанные на одну дугу; выпишите соответствующие равенства.
4. Составьте уравнение или цепочку равенств, используя сумму углов треугольника ($180^\circ$) или свойство вписанного/центрального угла.
5. Вычислите искомую величину, проверьте, что ответ соответствует смыслу задачи (угол не может быть больше $180^\circ$, радиус положителен).
6. Если задача связана с вписанной или описанной окружностью многоугольника, определите подходящую формулу и подставьте известные данные.