Формулы сокращённого умножения — справочник для ОГЭ

Коротко о главном

Формулы сокращённого умножения (ФСУ) — это готовые шаблоны для быстрого раскрытия скобок или, наоборот, для разложения выражения на множители. Они экономят время при вычислениях, упрощении выражений, решении уравнений и работе с дробями. На ОГЭ без них сложно быстро справиться с заданиями на преобразование выражений и текстовые задачи.

Определения и формулы

Название	Формула
Квадрат суммы	$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Квадрат разности	$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Разность квадратов	$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
Куб суммы	$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Куб разности	$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
Сумма кубов	$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
Разность кубов	$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Важно запомнить схему:

• Квадрат суммы/разности — квадрат первого, ± удвоенное произведение, плюс квадрат второго.
• Разность квадратов — разложение на разность и сумму тех же слагаемых.
• Сумма и разность кубов — множитель (сумма или разность) на неполный квадрат суммы $a^2 \mp ab + b^2$ (знак перед $ab$ всегда противоположен знаку в первом множителе).

Как применять

Пример 1. Быстрое возведение в квадрат. Вычислить $199^2$ без калькулятора. Запишем $199 = 200 - 1$: $$199^2 = (200-1)^2 = 200^2 - 2\cdot200\cdot1 + 1^2 = 40000 - 400 + 1 = 39601.$$

Пример 2. Упрощение выражения (задание 8). Упростить $\dfrac{a^2 - 9}{a - 3}$. Числитель — разность квадратов: $a^2 - 9 = (a-3)(a+3)$. $$\dfrac{(a-3)(a+3)}{a-3} = a+3 \quad (a \ne 3).$$

Пример 3. Разложение на множители (задание 9, ОДЗ). Решить уравнение $x^2 - 6x + 9 = 0$. Заметим: $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$. $$(x-3)^2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3.$$

Типичные ошибки

• Забывают удвоенное произведение: пишут $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ — это неверно, теряется член $2ab$.
• Путают знаки в кубе разности: забывают чередование знаков $+, -, +, -$.
• Считают, что $a^2 + b^2$ раскладывается через ФСУ — сумма квадратов на множители через целые числа не разлагается (в отличие от разности квадратов).
• Ошибка в неполном квадрате при кубах: пишут $a^2 - ab + b^2$ вместо $a^2 + ab + b^2$ для суммы кубов (или наоборот) — знак перед $ab$ нужно проверять отдельно.
• Применяют формулу разности квадратов к сумме: $a^2 + b^2 \ne (a+b)(a-b)$, это выражение раскладывается только через комплексные числа, что не нужно на ОГЭ.
• Не следят за ОДЗ при сокращении дробей после разложения — знаменатель не должен быть равен нулю.

Где встречается на экзамене

• Задание 6 — вычисления с использованием быстрых приёмов (квадраты чисел вида 19, 21, 99, 101 и т.п.).
• Задание 8 — упрощение алгебраических выражений и дробей, где числитель или знаменатель раскладывается по ФСУ.
• Задание 9 — решение уравнений, где после разложения на множители получаются простые корни.
• Задание 20 — доказательство тождеств, преобразование выражений с переменными, часто в сочетании с другими алгебраическими приёмами (вынесение общего множителя, группировка).