Задание 8 ОГЭ по математике: степени и корни — полный гайд

Что проверяет задание

Задание 8 ОГЭ проверяет умение работать с числовыми выражениями, содержащими степени и корни, без использования калькулятора. Нужно уметь применять свойства степеней и арифметических корней, упрощать выражения, выносить множители из-под корня, приводить степени к общему основанию и находить точное числовое значение выражения. Это базовый навык, без которого невозможно решать более сложные алгебраические задачи в основной части экзамена.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Формулировка обычно звучит так: «Найдите значение выражения…», после чего дана числовая запись со степенями и/или корнями. Задание находится в первой части экзамена, не требует развернутого решения — достаточно указать верный числовой ответ. За правильный ответ начисляется 1 балл. Калькулятором пользоваться нельзя, поэтому все вычисления нужно уметь делать вручную, опираясь на свойства степеней и корней.

Что нужно знать

Для решения задания необходимо твёрдо помнить следующие формулы и определения:

• $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$, при $a\ge0,\ b\ge0$
• $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, при $a\ge0,\ b>0$
• $(\sqrt{a})^2=a$, при $a\ge0$
• $\sqrt{a^2}=|a|$ — важно не забывать про модуль
• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
• $a^m:a^n=a^{m-n}$ (при $a\ne0$)
• $(a^m)^n=a^{mn}$
• $(ab)^n=a^n\cdot b^n$
• $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$, при $b\ne0$
• $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$, при $a\ne0$
• $a^0=1$, при $a\ne0$
• Формула разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

Эти формулы — основной инструментарий, с их помощью решается подавляющее большинство заданий этого типа.

Методы решения

1. Вынесение полного квадрата из-под корня. Если под корнем стоит число, которое можно представить как произведение полного квадрата и другого множителя, часть корня «выходит» наружу. Пример: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$.

2. Объединение нескольких корней в один через свойство произведения. Если выражение содержит произведение нескольких корней, их можно объединить под одним знаком корня, перемножив подкоренные выражения. Пример: $\sqrt3\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6$.

3. Приведение степеней к одному основанию и применение свойств показателей. Если числа в выражении — степени с одинаковым основанием (или его можно получить), удобно свести всё к одному основанию и работать только с показателями. Пример: $2^{5}\cdot2^{-3}=2^{2}=4$.

4. Применение формулы разности квадратов для «сопряжённых» выражений. Если встречается произведение вида $(\sqrt{a}-b)(\sqrt{a}+b)$, не нужно раскрывать скобки почленно — сразу применяется формула $a-b^2$. Пример: $(\sqrt7-2)(\sqrt7+2)=7-4=3$.

5. Комбинированное упрощение: сначала степени, потом корни (или наоборот). В сложных выражениях полезно сначала упростить степенную часть, затем корневую, и лишь потом объединять результаты. Пример: $\sqrt{2^4}\cdot3=\sqrt{16}\cdot3=4\cdot3=12$.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитать выражение и определить, какие операции присутствуют: умножение, деление корней, возведение в степень, произведение скобок.
2. Определить, можно ли упростить отдельные части выражения по отдельности — например, вынести множитель из-под корня или привести степень к более простому виду.
3. Если в выражении несколько корней с одинаковым показателем корня, объединить их в один корень через произведение подкоренных выражений.
4. Если в выражении несколько степеней с одинаковым основанием, применить свойства сложения или вычитания показателей.
5. Если в выражении есть скобки вида $(\sqrt{a}-b)(\sqrt{a}+b)$, сразу применить формулу разности квадратов, не раскрывая скобки вручную.
6. Выполнить оставшиеся арифметические действия и получить финальное числовое значение.
7. Проверить ответ на правдоподобность: прикинуть примерный порядок величины, чтобы исключить грубые ошибки.

Разбор примеров

Пример 1. Найдите значение выражения $5\sqrt{11}\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{22}$.

Шаг 1. Выделим числовые коэффициенты и корни отдельно: коэффициенты — $5$ и $2$, корни — $\sqrt{11}$, $\sqrt2$, $\sqrt{22}$.

Шаг 2. Перемножим коэффициенты: $5\cdot2=10$.

Шаг 3. Объединим корни через свойство произведения: $\sqrt{11}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{22}=\sqrt{11\cdot2\cdot22}$.

Шаг 4. Посчитаем подкоренное выражение: $11\cdot2=22$, затем $22\cdot22=484$. Получаем $\sqrt{484}$.

Шаг 5. Извлечём корень: $\sqrt{484}=22$.

Шаг 6. Умножим результат на коэффициент: $10\cdot22=220$.

Ответ: $220$.

Пример 2. Найдите значение выражения $4^{-10}\cdot(4^3)^4$.

Шаг 1. Упростим степень в скобках по правилу $(a^m)^n=a^{mn}$: $(4^3)^4=4^{12}$.

Шаг 2. Теперь выражение имеет вид $4^{-10}\cdot4^{12}$.

Шаг 3. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием: сложим показатели $-10+12=2$.

Шаг 4. Получаем $4^2$.

Шаг 5. Вычислим: $4^2=16$.

Ответ: $16$.

Пример 3. Найдите значение выражения $(\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}+3)$.

Шаг 1. Заметим, что выражение имеет вид произведения суммы и разности одинаковых слагаемых: $\sqrt{11}$ и $3$.

Шаг 2. Применим формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=\sqrt{11}$, $b=3$.

Шаг 3. Вычислим $a^2=(\sqrt{11})^2=11$, $b^2=3^2=9$.

Шаг 4. Найдём разность: $11-9=2$.

Ответ: $2$.

Типичные ошибки и ловушки

• Забывают, что $\sqrt{a^2}=|a|$, а не просто $a$ — особенно если под корнем может оказаться отрицательное число.
• Путают правила умножения и сложения степеней: складывают показатели при умножении оснований вместо умножения степеней целиком, или наоборот.
• При умножении корней ошибочно складывают подкоренные выражения вместо их перемножения.
• Не замечают в выражении структуру «сопряжённых» множителей и пытаются раскрыть скобки вручную, что увеличивает риск арифметической ошибки.
• Ошибаются в знаках при работе с отрицательными показателями степени, забывая, что $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$.
• Допускают арифметические ошибки при подсчёте больших чисел под корнем — стоит внимательно проверять умножение многозначных чисел.
• Забывают округлять или, наоборот, оставляют лишние действия там, где ответ должен быть целым числом — если в процессе решения получается не целое число, вероятно, где-то допущена ошибка.

Как готовиться

Для уверенного решения задания 8 нужно выучить наизусть все свойства степеней и корней, перечисленные выше, и уметь применять их автоматически, без раздумий. Полезно ежедневно решать по 5–10 подобных примеров, постепенно усложняя числа и комбинации операций. Стоит отдельно потренироваться на задачах с формулой разности квадратов и на приведении степеней к общему основанию — это две самые частые ловушки. После решения каждого примера полезно проверять ответ прикидкой порядка величины: если корень или степень дают явно неправдоподобное число, стоит перепроверить вычисления. Регулярная练ика с разбором открытого банка заданий ОГЭ поможет довести навык до автоматизма и избежать типичных ошибок на экзамене.