Задание 8: Числа, вычисления и алгебраические выражения

Формулировка обычно звучит так: «Найдите значение выражения…», после чего дана числовая запись со степенями и/или корнями. Задание находится в первой части экзамена, не требует развернутого решения — достаточно указать верный числовой ответ. За правильный ответ начисляется 1 балл. Калькулятором пользоваться нельзя, поэтому все вычисления нужно уметь делать вручную, опираясь на свойства степеней и корней.

Для решения задания необходимо твёрдо помнить следующие формулы и определения:

• $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$, при $a\ge0,\ b\ge0$
• $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, при $a\ge0,\ b>0$
• $(\sqrt{a})^2=a$, при $a\ge0$
• $\sqrt{a^2}=|a|$ — важно не забывать про модуль
• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
• $a^m:a^n=a^{m-n}$ (при $a\ne0$)
• $(a^m)^n=a^{mn}$
• $(ab)^n=a^n\cdot b^n$
• $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$, при $b\ne0$
• $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$, при $a\ne0$
• $a^0=1$, при $a\ne0$
• Формула разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

Эти формулы — основной инструментарий, с их помощью решается подавляющее большинство заданий этого типа.

1. Внимательно прочитать выражение и определить, какие операции присутствуют: умножение, деление корней, возведение в степень, произведение скобок.
2. Определить, можно ли упростить отдельные части выражения по отдельности — например, вынести множитель из-под корня или привести степень к более простому виду.
3. Если в выражении несколько корней с одинаковым показателем корня, объединить их в один корень через произведение подкоренных выражений.
4. Если в выражении несколько степеней с одинаковым основанием, применить свойства сложения или вычитания показателей.
5. Если в выражении есть скобки вида $(\sqrt{a}-b)(\sqrt{a}+b)$, сразу применить формулу разности квадратов, не раскрывая скобки вручную.
6. Выполнить оставшиеся арифметические действия и получить финальное числовое значение. …