Задание 9 ОГЭ: линейные и квадратные уравнения — полный разбор

Что проверяет задание

Задание 9 ОГЭ по математике проверяет умение решать уравнения — базовый навык алгебры, без которого невозможно двигаться дальше по курсу. В частности, оцениваются:

• умение раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые;
• умение переносить слагаемые из одной части уравнения в другую с изменением знака;
• умение работать с дробными коэффициентами;
• знание формулы корней квадратного уравнения и умение находить дискриминант;
• аккуратность вычислений — большинство ошибок связано не с непониманием темы, а с невнимательностью на промежуточных шагах.

Задание относится к базовому уровню сложности, но именно на нём часто теряются баллы из-за спешки и арифметических промахов.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Формулировка обычно звучит так: «Решите уравнение …». Далее дано конкретное уравнение — линейное (с одной переменной первой степени) или квадратное (с переменной во второй степени). Иногда встречаются уравнения, которые после преобразований сводятся к линейному, хотя выглядят сложнее — со скобками, дробями или похожими на квадратные.

За полностью верное решение с правильным ответом даётся 1 балл. Частичного балла за это задание не предусмотрено: либо ответ верный и обоснованный, либо балл не засчитывается. Поэтому важно не только правильно посчитать, но и записать решение так, чтобы был виден ход преобразований — это подтверждает, что ответ получен, а не угадан.

Что нужно знать

Линейное уравнение и его решение:

• Общий вид линейного уравнения: $ax + b = 0$, где $a \ne 0$.
• Корень: $x = -\dfrac{b}{a}$.
• Если $a = 0$ и $b = 0$ — уравнение имеет бесконечно много решений (любое число является корнем).
• Если $a = 0$ и $b \ne 0$ — уравнение не имеет решений.

Правила преобразования уравнений:

• К обеим частям уравнения можно прибавить (или отнять) одно и то же число или выражение — равенство не нарушится.
• Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.
• При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.
• Раскрытие скобок с минусом перед ними: каждый знак внутри скобки меняется на противоположный, например $-(a+b) = -a-b$.

Квадратное уравнение и его решение:

• Общий вид: $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \ne 0$.
• Дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
• Если $D > 0$ — два различных корня: $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
• Если $D = 0$ — один корень (два совпадающих): $x = -\dfrac{b}{2a}$.
• Если $D < 0$ — действительных корней нет.
• Неполные квадратные уравнения решаются проще:
• $ax^2 + bx = 0 \Rightarrow x(ax+b)=0 \Rightarrow x=0$ или $x=-\dfrac{b}{a}$;
• $ax^2 + c = 0 \Rightarrow x^2 = -\dfrac{c}{a}$ (решения есть только если правая часть неотрицательна).
• Теорема Виета (для проверки): если $x_1, x_2$ — корни уравнения $x^2+px+q=0$, то $x_1+x_2=-p$, $x_1x_2=q$.

Методы решения

1. Метод переноса слагаемых (для линейных уравнений). Все слагаемые с переменной собираются в одной части, числа — в другой, затем находится корень. Пример: $5x + 3 = 2x + 12 \Rightarrow 5x - 2x = 12 - 3 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$.

2. Метод раскрытия скобок с последующим приведением подобных. Если в уравнении есть скобки, сначала их раскрывают (не забывая про знак перед скобкой), затем действуют как в первом методе. Пример: $2(x+1) - 3 = x + 4 \Rightarrow 2x+2-3 = x+4 \Rightarrow 2x-1=x+4 \Rightarrow x=5$.

3. Метод умножения на общий знаменатель (для уравнений с дробями). Если в уравнении есть дробные коэффициенты, обе части умножают на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей. Пример: $\dfrac{x}{2} + 1 = \dfrac{x}{3} \Rightarrow 3x + 6 = 2x \Rightarrow x = -6$.

4. Метод дискриминанта (для полных квадратных уравнений). Находят $D = b^2-4ac$, затем по знаку $D$ определяют количество корней и вычисляют их по формуле. Пример: $x^2 - 5x + 6 = 0$. $D = 25 - 24 = 1$. $x_{1,2} = \dfrac{5\pm1}{2}$, то есть $x_1=3$, $x_2=2$.

5. Метод разложения на множители (для неполных квадратных уравнений). Если отсутствует свободный член или линейный член, уравнение проще разложить на множители, чем считать дискриминант. Пример: $x^2 - 7x = 0 \Rightarrow x(x-7)=0 \Rightarrow x=0$ или $x=7$.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить тип уравнения. Посмотреть, есть ли переменная во второй степени. Если есть — уравнение квадратное, если нет — линейное.
2. Раскрыть скобки, если они есть, аккуратно следя за знаками (особенно при минусе перед скобкой).
3. Привести подобные слагаемые в каждой части уравнения отдельно.
4. Перенести все слагаемые с переменной в одну часть, а числа — в другую, меняя знаки при переносе.
5. Для линейного уравнения — разделить обе части на коэффициент при переменной и получить корень.
6. Для квадратного уравнения — привести к виду $ax^2+bx+c=0$, посчитать дискриминант и найти корни по формуле (или разложить на множители, если уравнение неполное).
7. Проверить ответ, подставив найденное значение в исходное уравнение (особенно важно для дробных и квадратных уравнений).
8. Записать ответ в требуемом формате — обычно это число или два числа через запятую.

Разбор примеров

Пример 1. Решите уравнение $$2 - 3(2x + 2) = 5 - 4x.$$

Шаг 1. Раскрываем скобку в левой части, умножая $-3$ на каждое слагаемое внутри скобок: $$2 - 6x - 6 = 5 - 4x.$$

Шаг 2. Приводим подобные слагаемые в левой части ($2 - 6 = -4$): $$-4 - 6x = 5 - 4x.$$

Шаг 3. Переносим слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую. При переносе $-4x$ из правой части знак меняется на $+4x$, а при переносе $-4$ из левой части знак меняется на $+4$: $$-6x + 4x = 5 + 4.$$

Шаг 4. Приводим подобные слагаемые: $$-2x = 9.$$

Шаг 5. Делим обе части на коэффициент при переменной: $$x = -\dfrac{9}{2} = -4{,}5.$$

Шаг 6. Проверка: подставим $x=-4{,}5$ в исходное уравнение. Левая часть: $2 - 3(2\cdot(-4{,}5)+2) = 2 - 3(-9+2) = 2 - 3\cdot(-7) = 2+21=23$. Правая часть: $5 - 4\cdot(-4{,}5) = 5+18=23$. Обе части равны, значит, ответ верный.

Ответ: $-4{,}5$.

Пример 2. Решите уравнение $$3x + 5 + (x+5) = (1-x) + 4.$$

Шаг 1. Раскрываем скобки. В данном случае перед скобками стоят знаки «+», поэтому скобки просто убираются без изменения знаков внутри них: $$3x + 5 + x + 5 = 1 - x + 4.$$

Шаг 2. Приводим подобные слагаемые в каждой части. Левая часть: $3x + x = 4x$; $5+5=10$. Получаем $4x + 10$. Правая часть: $1+4=5$. Получаем $5 - x$. $$4x + 10 = 5 - x.$$

Шаг 3. Переносим слагаемые с переменной влево, числа — вправо: $$4x + x = 5 - 10.$$

Шаг 4. Приводим подобные слагаемые: $$5x = -5.$$

Шаг 5. Делим обе части на 5: $$x = -1.$$

Шаг 6. Проверка: подставляем $x=-1$. Левая часть: $3\cdot(-1)+5+(-1+5) = -3+5+4=6$. Правая часть: $(1-(-1))+4 = (1+1)+4=6$. Значения совпадают.

Ответ: $-1$.

Пример 3. Решите уравнение $$10x + 9 = 7x.$$

Шаг 1. Скобок нет, поэтому сразу переносим слагаемые с переменной в одну часть, а числа — в другую. Перенесём $7x$ влево (знак меняется на противоположный): $$10x - 7x = -9.$$

Шаг 2. Приводим подобные слагаемые: $$3x = -9.$$

Шаг 3. Делим обе части на 3: $$x = -3.$$

Шаг 4. Проверка: подставляем $x=-3$. Левая часть: $10\cdot(-3)+9 = -30+9=-21$. Правая часть: $7\cdot(-3) = -21$. Значения совпадают.

Ответ: $-3$.

Типичные ошибки и ловушки

• Ошибка при раскрытии скобок с минусом. Если перед скобкой стоит знак «минус» или отрицательный коэффициент, забывают изменить знаки у всех слагаемых внутри скобки. Например, $-3(2x+2)$ нужно раскрывать как $-6x-6$, а не $-6x+6$.
• Ошибка при переносе слагаемых. При переносе слагаемого из одной части в другую забывают изменить его знак на противоположный. Это самая частая причина неверного ответа.
• Потеря знака минус перед всей дробью или числом. Особенно опасно при делении на отрицательный коэффициент — легко перепутать знак итогового ответа.
• Ошибки в вычислении дискриминанта. Забывают квадрат числа $b$ или неправильно вычисляют произведение $4ac$, особенно если коэффициенты отрицательные.
• Неверная запись ответа при квадратном уравнении. Если уравнение имеет два корня, важно указать оба, а не только один — иначе задание не засчитывается как решённое полностью.
• Пропуск проверки. Отсутствие подстановки найденного значения в исходное уравнение приводит к тому, что арифметическая ошибка остаётся незамеченной.
• Путаница между линейным и квадратным уравнением. Если после преобразований квадратный член сокращается (например, $x^2$ на обоих сторонах взаимно уничтожается), уравнение становится линейным — это нужно заметить и не искать дискриминант там, где он не нужен.

Как готовиться

• Начните с закрепления базовых правил: перенос слагаемых со сменой знака, раскрытие скобок, приведение подобных членов. Эти навыки должны выполняться автоматически, без раздумий.
• Решайте линейные уравнения разного вида: с одной переменной в обеих частях, со скобками, с дробными коэффициентами. Чем больше разнообразных примеров пройдено, тем увереннее будет реакция на формулировку задания на экзамене.
• Отдельно потренируйтесь на квадратных уравнениях: сначала неполные (раскладывая на множители), затем полные — с вычислением дискриминанта. Доведите формулу корней до автоматизма, чтобы не тратить время на её вспоминание.
• Обязательно включите в тренировку проверку каждого решённого уравнения подстановкой корня — это вырабатывает привычку самоконтроля и снижает число ошибок на экзамене.
• Решайте уравнения в тетради полным разворотом всех шагов, а не в уме. На экзамене это экономит время и помогает найти ошибку, если ответ получился «некрасивым».
• Регулярно возвращайтесь к разбору типичных ошибок — часто одна и та же невнимательность повторяется в разных заданиях, и осознание этого паттерна помогает её избежать.