Задание 9: Уравнения, системы уравнений

Формулировка обычно звучит так: «Решите уравнение …». Далее дано конкретное уравнение — линейное (с одной переменной первой степени) или квадратное (с переменной во второй степени). Иногда встречаются уравнения, которые после преобразований сводятся к линейному, хотя выглядят сложнее — со скобками, дробями или похожими на квадратные.

…

Линейное уравнение и его решение:

• Общий вид линейного уравнения: $ax + b = 0$, где $a \ne 0$.
• Корень: $x = -\dfrac{b}{a}$.
• Если $a = 0$ и $b = 0$ — уравнение имеет бесконечно много решений (любое число является корнем).
• Если $a = 0$ и $b \ne 0$ — уравнение не имеет решений.

Правила преобразования уравнений:

• К обеим частям уравнения можно прибавить (или отнять) одно и то же число или выражение — равенство не нарушится.
• Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.
• При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.
• Раскрытие скобок с минусом перед ними: каждый знак внутри скобки меняется на противоположный, например $-(a+b) = -a-b$.

Квадратное уравнение и его решение:

• Общий вид: $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \ne 0$.
• Дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
• Если $D > 0$ — два различных корня: $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
• Если $D = 0$ — один корень (два совпадающих): $x = -\dfrac{b}{2a}$.
• Если $D < 0$ — действительных корней нет.
• Неполные квадратные уравнения решаются проще:
• $ax^2 + bx = 0 \Rightarrow x(ax+b)=0 \Rightarrow x=0$ или $x=-\dfrac{b}{a}$;
• $ax^2 + c = 0 \Rightarrow x^2 = -\dfrac{c}{a}$ (решения есть только если правая часть неотрицательна).
• Теорема Виета (для проверки): если $x_1, x_2$ — корни уравнения $x^2+px+q=0$, то $x_1+x_2=-p$, $x_1x_2=q$.

1. Определить тип уравнения. Посмотреть, есть ли переменная во второй степени. Если есть — уравнение квадратное, если нет — линейное.
2. Раскрыть скобки, если они есть, аккуратно следя за знаками (особенно при минусе перед скобкой).
3. Привести подобные слагаемые в каждой части уравнения отдельно.
4. Перенести все слагаемые с переменной в одну часть, а числа — в другую, меняя знаки при переносе.
5. Для линейного уравнения — разделить обе части на коэффициент при переменной и получить корень.
6. Для квадратного уравнения — привести к виду $ax^2+bx+c=0$, посчитать дискриминант и найти корни по формуле (или разложить на множители, если уравнение неполное).
7. Проверить ответ, подставив найденное значение в исходное уравнение (особенно важно для дробных и квадратных уравнений). …