Задание 6 ОГЭ: действия с обыкновенными и десятичными дробями

Что проверяет задание

Задание 6 проверяет умение выполнять арифметические действия с обыкновенными и десятичными дробями: сложение, вычитание, умножение и деление. Проверяется базовая вычислительная грамотность — приведение дробей к общему знаменателю, перевод обыкновенных дробей в десятичные и обратно, работа со знаками. Это одно из самых «технических» заданий экзамена: здесь не нужно строить сложные модели, но требуется точность и знание правил.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка: «Вычислите значение выражения» или «Найдите значение выражения», после чего дано числовое выражение с обыкновенными и/или десятичными дробями, содержащее одно-два действия (сложение, вычитание, умножение, деление). Ответ нужно записать в виде числа — целого, десятичной дроби или обыкновенной дроби, в зависимости от требования.

Задание оценивается в 1 балл. Ответ засчитывается только при полном совпадении с эталоном, поэтому важно правильно округлять и приводить дробь к нужному виду (например, к десятичной, если этого требует контекст).

Что нужно знать

• Сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями: $\dfrac{a}{c}\pm\dfrac{b}{c}=\dfrac{a\pm b}{c}$.
• Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями: сначала приводим к общему знаменателю (обычно НОК знаменателей), затем складываем или вычитаем числители: $\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad\pm bc}{bd}$.
• Умножение дробей: числитель умножается на числитель, знаменатель на знаменатель: $\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}$.
• Деление дробей: делим — значит умножаем на «перевёрнутую» вторую дробь: $\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}=\dfrac{ad}{bc}$.
• Перевод десятичной дроби в обыкновенную: количество цифр после запятой определяет знаменатель — $0{,}25=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}$.
• Перевод обыкновенной дроби в десятичную: числитель делим на знаменатель столбиком либо приводим дробь к знаменателю 10, 100, 1000 и т. д.
• Сокращение дробей: делим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД), чтобы получить несократимую дробь.
• Действия с отрицательными числами: при вычитании большего числа из меньшего результат отрицательный; знак результата определяется по обычным правилам знаков.
• Порядок действий: сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление (слева направо), потом сложение и вычитание (слева направо).

Методы решения

Метод 1. Приведение к общему знаменателю (сложение/вычитание обыкновенных дробей). Находим НОК знаменателей, домножаем каждую дробь на нужный множитель, складываем числители. Пример: $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}$. НОК(4,6)=12. Получаем $\dfrac{3}{12}+\dfrac{2}{12}=\dfrac{5}{12}$.

Метод 2. Перевод всех чисел в десятичные дроби. Если знаменатели дробей делятся на степени 10 после сокращения (например, 4, 5, 20, 25), удобно перевести обыкновенную дробь в десятичную и считать столбиком. Пример: $\dfrac{3}{4}+0{,}5$. Переводим $\dfrac{3}{4}=0{,}75$, получаем $0{,75}+0{,}5=1{,}25$.

Метод 3. Перевод десятичных дробей в обыкновенные. Полезен, когда десятичная дробь неудобна для устного счёта или когда итоговый ответ требуется в виде обыкновенной дроби. Пример: $0{,}2\cdot\dfrac{5}{3}=\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{5}{3}=\dfrac{1}{3}$.

Метод 4. Замена деления умножением на обратную дробь. При делении дробей всегда переворачиваем вторую дробь и умножаем. Пример: $\dfrac{2}{3}:\dfrac{4}{9}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{9}{4}=\dfrac{18}{12}=\dfrac{3}{2}$.

Метод 5. Сокращение до умножения (упрощение «крест-накрест»). Перед умножением или делением дробей полезно сократить числители и знаменатели на общие множители — это уменьшает числа и снижает риск ошибки. Пример: $\dfrac{8}{15}\cdot\dfrac{5}{4}=\dfrac{8}{4}\cdot\dfrac{5}{15}=2\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить тип действия в выражении: сложение, вычитание, умножение или деление.
2. Если дроби смешанного типа (обыкновенная и десятичная) — привести обе к одному виду: либо обе к десятичным, либо обе к обыкновенным (выбирать вид, при котором вычисления проще).
3. Для сложения/вычитания обыкновенных дробей — найти общий знаменатель, преобразовать дроби, выполнить действие с числителями.
4. Для умножения — умножить числители и знаменатели, при возможности сократить дробь до или после умножения.
5. Для деления — заменить деление умножением на обратную дробь.
6. Сократить итоговую дробь до несократимого вида (разделить числитель и знаменатель на НОД).
7. Если ответ требуется в виде десятичной дроби — перевести результат делением числителя на знаменатель.
8. Проверить знак результата и соответствие формату ответа, требуемому в задании.

Разбор примеров

Пример 1. Вычислите: $\dfrac{4}{25}+\dfrac{15}{4}$.

Шаг 1. Определяем общий знаменатель для 25 и 4. НОК(25,4)=100.

Шаг 2. Приводим дроби к знаменателю 100: $\dfrac{4}{25}=\dfrac{16}{100}$, $\dfrac{15}{4}=\dfrac{375}{100}$.

Шаг 3. Складываем числители: $\dfrac{16}{100}+\dfrac{375}{100}=\dfrac{391}{100}$.

Шаг 4. Переводим в десятичную дробь: $\dfrac{391}{100}=3{,}91$.

Ответ: $3{,}91$.

Пример 2. Вычислите: $\dfrac{3}{2}-\dfrac{9}{5}$.

Шаг 1. Находим общий знаменатель для 2 и 5. НОК(2,5)=10.

Шаг 2. Приводим дроби: $\dfrac{3}{2}=\dfrac{15}{10}$, $\dfrac{9}{5}=\dfrac{18}{10}$.

Шаг 3. Вычитаем числители: $\dfrac{15}{10}-\dfrac{18}{10}=\dfrac{-3}{10}$.

Шаг 4. Так как числитель меньше знаменателя по модулю, полученная дробь отрицательная: $\dfrac{-3}{10}=-0{,}3$.

Ответ: $-0{,}3$.

Пример 3. Найдите значение выражения $\dfrac{12}{5}:\dfrac{15}{2}$.

Шаг 1. Заменяем деление умножением на обратную дробь: $\dfrac{12}{5}\cdot\dfrac{2}{15}$.

Шаг 2. Сокращаем числа перед умножением: 12 и 15 делятся на 3 — получаем $\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{2}{5}$.

Шаг 3. Перемножаем числители и знаменатели: $\dfrac{4\cdot2}{5\cdot5}=\dfrac{8}{25}$.

Шаг 4. Переводим в десятичную дробь: $\dfrac{8}{25}=\dfrac{32}{100}=0{,}32$.

Ответ: $0{,}32$.

Типичные ошибки и ловушки

• Неправильное нахождение общего знаменателя: берут произведение знаменателей вместо НОК, из-за чего числа становятся неудобными и растёт риск арифметической ошибки.
• Забывают домножить числитель при приведении к общему знаменателю — домножают только знаменатель.
• При делении дробей забывают перевернуть именно вторую дробь, а не первую.
• Ошибки со знаком при вычитании: не определяют заранее, какое число больше по модулю, и получают неверный знак результата.
• Неверный перевод десятичной дроби в обыкновенную: путают количество нулей в знаменателе с количеством цифр после запятой.
• Забывают сократить дробь в конце — ответ засчитывается только в том виде, который требует условие (или как эквивалентное несократимое число, но проверять точность нужно всегда).
• Ошибки при переводе смешанных чисел в обыкновенные дроби перед умножением или делением.
• Потеря знака минус при промежуточных вычислениях, особенно если выражение содержит несколько действий подряд.

Как готовиться

Лучший способ подготовки — регулярная тренировка устного счёта и письменных вычислений с дробями без калькулятора. Прорешивайте по 10–15 примеров каждый день на разные действия: отдельно сложение и вычитание, отдельно умножение и деление, а затем — комбинированные выражения. Обязательно повторяйте таблицу основных переводов обыкновенных дробей в десятичные ($\frac12=0{,}5$, $\frac14=0{,}25$, $\frac15=0{,}2$, $\frac18=0{,}125$ и другие) — это ускоряет вычисления и снижает число ошибок. После каждого примера проверяйте результат обратным действием: если сложили — проверьте вычитанием, если умножили — проверьте делением. Заведите привычку выписывать промежуточные шаги полностью, не пропускать приведение к общему знаменателю в голове — это самая частая причина ошибок на экзамене.