Задание 20 ОГЭ: уравнения, неравенства и системы — полный разбор

Что проверяет задание

Задание 20 проверяет умение работать с алгебраическими уравнениями и неравенствами, которые не решаются "в одно действие". Здесь нужно применить приёмы преобразования: разложение на множители, использование формул сокращённого умножения, замену переменной, анализ знаков. Это задание — переход от базовой алгебры к более гибкому мышлению: увидеть скрытую структуру выражения и выбрать короткий путь решения вместо громоздкого раскрытия скобок.

Основная цель составителей — проверить, может ли ученик:

• узнать в примере известную формулу или структуру;
• корректно перенести все члены уравнения в одну сторону;
• разложить многочлен на множители;
• учесть область допустимых значений (ОДЗ) и особые случаи (сумма квадратов, произведение равно нулю).

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичные формулировки:

• «Решите уравнение: ...»;
• «Решите неравенство: ...»;
• «Решите систему уравнений: ...».

В бланке ответов нужно записать только итоговый результат: число, множество чисел или промежуток. Задание оценивается в 2 балла: 1 балл — если получен верный ответ с небольшой недоработкой в обосновании (в кратком ответе это редко проверяется отдельно, но при развёрнутом решении важна логика), 2 балла — за полностью правильный ответ. Если в уравнении несколько корней, необходимо указать все, иначе ответ засчитывается как неверный.

Важно: в задании 20 почти никогда не требуется просто "в столбик" раскрывать всё уравнение — почти всегда есть скрытый приём, который сокращает вычисления в разы.

Что нужно знать

Для уверенного решения нужно держать в голове следующий набор фактов.

• Формулы сокращённого умножения: $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$ $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\quad a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
• Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$A\cdot B=0 \iff A=0 \text{ или } B=0$$
• Сумма неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю: $$A^2+B^2=0 \iff A=0 \text{ и } B=0$$
• Дискриминант квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$: $$D=b^2-4ac,\quad x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$
• Метод группировки: вынесение общего множителя из частей многочлена.
• Свойства квадратного трёхчлена и его корней (теорема Виета): $$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\quad x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$$
• Правила решения неравенств: при умножении/делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
• Метод интервалов для неравенств вида $f(x)>0$ (или $<0$, $\ge$, $\le$): найти нули функции, отметить их на числовой прямой, определить знак на каждом промежутке.
• Способы решения систем: подстановка (выразить одну переменную через другую) и сложение/вычитание уравнений для исключения переменной.

Методы решения

1. Перенос всех членов в одну сторону и разложение на множители. Любое уравнение вида $P(x)=Q(x)$ удобно свести к виду $P(x)-Q(x)=0$, а затем разложить левую часть. Пример: $x^2=5x \Rightarrow x^2-5x=0 \Rightarrow x(x-5)=0 \Rightarrow x=0$ или $x=5$.

2. Формула разности квадратов для уравнений с квадратами скобок. Если уравнение имеет вид $A^2=B^2$, не нужно раскрывать скобки полностью — переносим всё влево и применяем формулу $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$. Пример: $(x+1)^2=(2x-1)^2 \Rightarrow (x+1-2x+1)(x+1+2x-1)=0 \Rightarrow (2-x)(3x)=0 \Rightarrow x=0$ или $x=2$.

3. Сумма квадратов равна нулю. Если уравнение приведено к виду $A^2+B^2=0$, единственная возможность — оба выражения равны нулю одновременно. Это даёт систему двух простых уравнений. Пример: $(x-3)^2+(y+2)^2=0 \Rightarrow x=3,\ y=-2$.

4. Метод интервалов для неравенств. Приводим неравенство к виду $f(x)>0$ (или другому знаку), находим корни числителя и знаменателя (если есть дробь), отмечаем на прямой, определяем знак на каждом промежутке через пробную точку. Пример: $(x-2)(x+3)>0$ — корни $x=2$ и $x=-3$, знак "плюс" вне промежутка между корнями, ответ: $x<-3$ или $x>2$.

5. Метод подстановки для систем уравнений. Если из одного уравнения легко выразить одну переменную, подставляем это выражение в другое уравнение системы, получая уравнение с одной переменной. Пример: система $y=2x-1,\ x^2+y=3$ сводится к $x^2+2x-1=3 \Rightarrow x^2+2x-4=0$.

Алгоритм решения по шагам

1. Прочитать уравнение или неравенство и определить его тип: линейное, квадратное, кубическое, с модулем, дробное, система.
2. Перенести все члены в одну сторону, если это упрощает вид выражения (особенно если справа и слева похожие структуры вроде квадратов скобок).
3. Попытаться увидеть формулу сокращённого умножения или общий множитель — это часто мгновенно упрощает задачу.
4. Разложить получившееся выражение на множители любым доступным способом: вынесение общего множителя, группировка, формулы $a^2-b^2$, $a^3\pm b^3$, разложение квадратного трёхчлена через корни.
5. Применить условие "произведение равно нулю" или "сумма квадратов равна нулю" — получить простые уравнения.
6. Решить каждое из полученных простых уравнений или неравенств.
7. Если это система — решить оба уравнения совместно, найти пересечение решений (общие корни) либо подставить одно в другое.
8. Проверить полученные корни: подставить в исходное уравнение, учесть ОДЗ (если есть деление, корень, логарифм).
9. Записать итоговый ответ в требуемом формате (число, набор чисел, промежуток).

Разбор примеров

Пример 1. Решите уравнение $x^3=x^2-7x+7$.

Шаг 1. Переносим всё в левую часть: $$x^3-x^2+7x-7=0$$

Шаг 2. Группируем слагаемые парами, чтобы вынести общий множитель: $$x^2(x-1)+7(x-1)=0$$

Шаг 3. Выносим общий множитель $(x-1)$: $$(x-1)(x^2+7)=0$$

Шаг 4. Применяем правило "произведение равно нулю": либо $x-1=0$, либо $x^2+7=0$.

Шаг 5. Уравнение $x^2+7=0$ не имеет решений, так как $x^2\ge 0$ для любого $x$, а значит $x^2+7\ge 7>0$ всегда.

Шаг 6. Остаётся единственное уравнение $x-1=0$, откуда $x=1$.

Ответ: 1.

Пример 2. Решите уравнение $(2x-3)^2=(1-2x)^2$.

Шаг 1. Переносим правую часть влево: $$(2x-3)^2-(1-2x)^2=0$$

Шаг 2. Применяем формулу разности квадратов $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$, где $A=2x-3$, $B=1-2x$: $$\big[(2x-3)-(1-2x)\big]\cdot\big[(2x-3)+(1-2x)\big]=0$$

Шаг 3. Раскрываем скобки внутри каждого множителя: $$(2x-3-1+2x)\cdot(2x-3+1-2x)=0$$ $$(4x-4)\cdot(-2)=0$$

Шаг 4. Так как второй множитель $-2$ никогда не равен нулю, произведение равно нулю только когда первый множитель равен нулю: $$4x-4=0 \Rightarrow x=1$$

Шаг 5. Проверка: подставим $x=1$ в исходное уравнение: слева $(2\cdot1-3)^2=(-1)^2=1$, справа $(1-2\cdot1)^2=(-1)^2=1$. Равенство верно.

Ответ: 1.

Пример 3. Решите уравнение $(x^2-25)^2+(x^2+3x-10)^2=0$.

Шаг 1. Замечаем структуру: сумма двух квадратов равна нулю. По свойству суммы неотрицательных чисел это возможно только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю одновременно: $$x^2-25=0 \quad \text{и} \quad x^2+3x-10=0$$

Шаг 2. Решаем первое уравнение: $$x^2-25=0 \Rightarrow x^2=25 \Rightarrow x=5 \text{ или } x=-5$$

Шаг 3. Решаем второе уравнение через дискриминант: $$x^2+3x-10=0,\quad D=3^2-4\cdot1\cdot(-10)=9+40=49$$ $$x=\dfrac{-3\pm7}{2}$$ $$x_1=\dfrac{-3+7}{2}=2,\quad x_2=\dfrac{-3-7}{2}=-5$$

Шаг 4. Оба уравнения должны выполняться одновременно, значит нужно найти значения $x$, которые являются решением и первого, и второго уравнения. Из первого — $\{5,-5\}$, из второго — $\{2,-5\}$. Общий элемент — только $x=-5$.

Шаг 5. Проверка: при $x=-5$ первое выражение $x^2-25=25-25=0$, второе $x^2+3x-10=25-15-10=0$. Сумма квадратов $0^2+0^2=0$ — верно.

Ответ: −5.

Типичные ошибки и ловушки

• Раскрытие скобок вместо разложения на множители. Многие ученики видят $(2x-3)^2=(1-2x)^2$ и начинают раскрывать оба квадрата по формуле $(a-b)^2$, теряя время и допуская ошибки в знаках. Гораздо быстрее и надёжнее сразу применить формулу разности квадратов.
• Забывают, что $x^2+c>0$ при положительном $c$ не имеет корней. В примере 1 важно сразу заметить, что $x^2+7$ никогда не равно нулю, а не пытаться "решать" это уравнение через дискриминант — хотя дискриминант тоже подтвердит отсутствие корней, это лишняя работа.
• Неверная трактовка суммы квадратов. Иногда путают: считают, что достаточно, чтобы сумма была равна нулю в каком-то одном смысле, а не требуют одновременного выполнения обоих условий. Нужно чётко понимать: $A^2+B^2=0$ означает систему $A=0$ и $B=0$ — то есть решение должно удовлетворять обоим уравнениям сразу, а не быть просто корнем одного из них.
• Не находят пересечение множеств корней. В примере 3 часто забывают, что итоговый ответ — это общий корень обоих квадратных уравнений, а не объединение всех найденных значений. Ошибочно указывают все четыре числа $5,-5,2,-5$ вместо единственного правильного $-5$.
• Пропуск проверки корней. Особенно важно при дробных уравнениях и уравнениях с корнями — деление на ноль или отрицательное подкоренное выражение может "убить" найденный корень. Всегда подставляйте результат в исходное уравнение.
• Ошибки в знаках при переносе членов уравнения. При переносе слагаемого через знак равенства его знак должен измениться на противоположный — это частая причина неверного результата.
• Незнание формул сокращённого умножения наизусть. Без автоматического узнавания формул $a^2-b^2$, $(a\pm b)^2$, $a^3\pm b^3$ теряется скорость и повышается риск арифметических ошибок при раскрытии скобок вручную.

Как готовиться

1. Выучите наизусть все формулы сокращённого умножения и тренируйтесь узнавать их в разных видах записи — не только в стандартной форме, но и "перевёрнутой", когда переменные стоят в другом порядке.
2. Решите минимум 20–30 уравнений вида "сумма или разность квадратов равна нулю", чтобы автоматически распознавать эту структуру и не тратить время на раздумья.
3. Практикуйте метод группировки на многочленах третьей степени — раскладывайте кубические уравнения на множитель первой степени и квадратный трёхчлен без остатка.
4. Отдельно тренируйте метод интервалов для неравенств: решайте неравенства с несколькими корнями, включая случаи с дробями, где важно учитывать точки, не входящие в область определения.
5. При подготовке систем уравнений чередуйте оба метода — подстановку и сложение/вычитание — чтобы уметь выбрать более быстрый способ в зависимости от вида системы.
6. После каждого решённого примера обязательно делайте проверку подстановкой — это вырабатывает привычку не терять баллы на элементарных ошибках.
7. Решайте варианты на время: задание 20 должно занимать не больше 5–7 минут, чтобы оставить время на другие номера экзамена.