Задание 20: Уравнения, неравенства и их системы

Типичные формулировки:

• «Решите уравнение: ...»;
• «Решите неравенство: ...»;
• «Решите систему уравнений: ...».

В бланке ответов нужно записать только итоговый результат: число, множество чисел или промежуток. Задание оценивается в 2 балла: 1 балл — если получен верный ответ с небольшой недоработкой в обосновании (в кратком ответе это редко проверяется отдельно, но при развёрнутом решении важна логика), 2 балла — за полностью правильный ответ. Если в уравнении несколько корней, необходимо указать все, иначе ответ засчитывается как неверный.

…

Для уверенного решения нужно держать в голове следующий набор фактов.

• Формулы сокращённого умножения: $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$ $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\quad a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
• Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$A\cdot B=0 \iff A=0 \text{ или } B=0$$
• Сумма неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю: $$A^2+B^2=0 \iff A=0 \text{ и } B=0$$
• Дискриминант квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$: $$D=b^2-4ac,\quad x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$
• Метод группировки: вынесение общего множителя из частей многочлена.
• Свойства квадратного трёхчлена и его корней (теорема Виета): $$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\quad x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$$
• Правила решения неравенств: при умножении/делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
• Метод интервалов для неравенств вида $f(x)>0$ (или $<0$, $\ge$, $\le$): найти нули функции, отметить их на числовой прямой, определить знак на каждом промежутке.
• Способы решения систем: подстановка (выразить одну переменную через другую) и сложение/вычитание уравнений для исключения переменной.

1. Прочитать уравнение или неравенство и определить его тип: линейное, квадратное, кубическое, с модулем, дробное, система.
2. Перенести все члены в одну сторону, если это упрощает вид выражения (особенно если справа и слева похожие структуры вроде квадратов скобок).
3. Попытаться увидеть формулу сокращённого умножения или общий множитель — это часто мгновенно упрощает задачу.
4. Разложить получившееся выражение на множители любым доступным способом: вынесение общего множителя, группировка, формулы $a^2-b^2$, $a^3\pm b^3$, разложение квадратного трёхчлена через корни.
5. Применить условие "произведение равно нулю" или "сумма квадратов равна нулю" — получить простые уравнения.
6. Решить каждое из полученных простых уравнений или неравенств.
7. Если это система — решить оба уравнения совместно, найти пересечение решений (общие корни) либо подставить одно в другое. …