Формулы площади и периметра фигур для ЕГЭ база

Коротко о главном

Площадь — величина, показывающая, сколько «места» занимает фигура (измеряется в кв. единицах: $см^2$, $м^2$). Периметр — длина границы фигуры (измеряется в обычных единицах длины: $см$, $м$). Для решения задач ЕГЭ базового уровня достаточно знать формулы для треугольника, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, круга и уметь применять их при разбиении сложных фигур на простые.

Определения и формулы

Фигура	Периметр	Площадь
Квадрат со стороной $a$	$P=4a$	$S=a^2$
Прямоугольник со сторонами $a,b$	$P=2(a+b)$	$S=ab$
Параллелограмм со сторонами $a,b$ и высотой $h$ к стороне $a$	$P=2(a+b)$	$S=a\cdot h$
Треугольник со сторонами $a,b,c$	$P=a+b+c$	$S=\dfrac{1}{2}a\cdot h_a$
Треугольник по формуле Герона	—	$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p=\dfrac{a+b+c}{2}$
Прямоугольный треугольник с катетами $a,b$	$P=a+b+c$	$S=\dfrac{1}{2}ab$
Трапеция с основаниями $a,b$ и высотой $h$	$P=a+b+c+d$	$S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$
Ромб с диагоналями $d_1,d_2$	$P=4a$	$S=\dfrac{d_1\cdot d_2}{2}$
Круг радиуса $r$	$C=2\pi r$ (длина окружности)	$S=\pi r^2$

Важные пояснения:

• Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону (или её продолжение).
• В параллелограмме высота проводится к той стороне, которая используется в формуле площади — стороны и соответствующие им высоты не взаимозаменяемы просто так.
• Периметр трапеции — сумма всех четырёх сторон, включая боковые $c$ и $d$, а не только оснований.
• Для круга различают длину окружности $C$ (аналог периметра) и площадь круга $S$ — их легко перепутать.

Как применять

Пример 1. Найти площадь прямоугольника со сторонами 8 см и 5 см. $S=ab=8\cdot5=40\ см^2$.

Пример 2. Найти площадь трапеции с основаниями 6 см и 10 см и высотой 4 см. $S=\dfrac{6+10}{2}\cdot4=\dfrac{16}{2}\cdot4=8\cdot4=32\ см^2$.

Пример 3. Участок земли имеет форму прямоугольного треугольника с катетами 6 м и 8 м. Найти его площадь и периметр (гипотенуза находится по теореме Пифагора). $c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ м. $S=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot8=24\ м^2$; $P=6+8+10=24$ м.

Пример 4 (сложная фигура). Фигура на клетчатой бумаге разбивается на прямоугольник и треугольник — площади частей складываются, чтобы найти общую площадь. Такой приём часто встречается в задании 9.

Типичные ошибки

• Путают периметр и площадь — считают периметр, когда просят найти площадь, и наоборот.
• В треугольнике берут высоту, не соответствующую выбранной стороне (высота должна быть перпендикулярна именно той стороне, что стоит в формуле).
• В трапеции забывают делить сумму оснований на 2 или складывают в периметр только основания без боковых сторон.
• Путают радиус и диаметр в формулах для круга: $S=\pi r^2$, а не $\pi d^2$.
• Не переводят единицы измерения (например, метры в сантиметры) перед вычислением, из-за чего результат получается неверным по порядку величины.
• При работе с клетчатой бумагой считают клетки «на глаз» вместо использования формулы Пика или разбиения на простые фигуры.

Где встречается на экзамене

Формулы площади и периметра фигур используются в заданиях 9 (практические задачи, включая клетчатую бумагу), 10 (задачи на теорию вероятностей, где нужно найти площадь области), 12 (планиметрические задачи с многоугольниками и окружностями) и 14 (текстовые задачи прикладного характера, например расчёт материалов для ремонта или участка земли).