Задание 14 ЕГЭ база: вычисления с дробями — разбор и алгоритм

Что проверяет задание

Задание 14 профильного и базового ЕГЭ по математике проверяет умение выполнять арифметические действия с десятичными и обыкновенными дробями без калькулятора. Это базовый навык вычислительной культуры: сложение, вычитание, умножение и деление дробей, а также правильный порядок действий в выражениях, где эти операции сочетаются. Здесь не нужна сложная теория — важна точность вычислений, знание правил перевода дробей и умение не сбиться на промежуточных шагах.

Задание всегда решается «в одно действие мысли», но требует аккуратности: одна ошибка в переносе запятой или в знаке — и весь ответ неверен. Именно поэтому его относят к разряду «простых, но обманчивых»: ошибаются на нём не из-за незнания темы, а из-за невнимательности.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка: «Найдите значение выражения» — далее записано числовое выражение с десятичными или обыкновенными дробями, включающее одну-две арифметические операции (иногда скобки). Ответ — число, которое нужно вписать в бланк без единиц измерения, в виде десятичной дроби или целого числа.

Задание оценивается в 1 балл. Ответ проверяется автоматически, поэтому важна не только правильная арифметика, но и правильный формат записи ответа: если получилась дробь вида $0{,}5$, её нужно записать именно так, а не как $\frac{1}{2}$ (если в инструкции не указано иное — обычно требуется десятичная запись).

Что нужно знать

• Разряды десятичной дроби: число вида $3{,}9$ означает $3 + \frac{9}{10}$; после запятой — десятые, сотые, тысячные доли.
• Сложение и вычитание десятичных дробей: числа записываются столбиком так, чтобы запятые стояли друг под другом; при необходимости дописываются нули справа.
• Умножение десятичных дробей: сначала умножаются числа как целые (без запятой), затем в результате отделяется запятой столько знаков, сколько их было после запятой в обоих множителях суммарно. $$0{,}12 \times 0{,}3 = 0{,}036 \quad (\text{2 знака} + \text{1 знак} = 3 \text{ знака после запятой})$$
• Деление десятичных дробей: если делитель — десятичная дробь, запятую в делимом и делителе сдвигают на одинаковое число знаков вправо, чтобы делитель стал целым числом. $$1{,}08 : 0{,}9 = 10{,}8 : 9 = 1{,}2$$
• Перевод обыкновенной дроби в десятичную: числитель делится на знаменатель. $$\frac{3}{4} = 0{,}75$$
• Сложение и вычитание обыкновенных дробей: дроби приводятся к общему знаменателю (наименьшему общему кратному знаменателей), затем складываются или вычитаются числители. $$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
• Умножение обыкновенных дробей: числитель умножается на числитель, знаменатель — на знаменатель, при возможности дробь сокращается. $$\frac{2}{5} \times \frac{5}{8} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$$
• Деление обыкновенных дробей: деление заменяется умножением на дробь, обратную второй. $$\frac{3}{4} : \frac{9}{8} = \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$$
• Порядок действий: сначала действия в скобках, затем умножение и деление (слева направо в порядке следования), затем сложение и вычитание.

Методы решения

Метод 1. Вычисление в скобках первым действием. Если выражение содержит скобки, независимо от того, какие операции стоят снаружи, сначала находится значение внутри скобок. Пример: $(5{,}6 - 2{,}1) \times 3 = 3{,}5 \times 3 = 10{,}5$.

Метод 2. Приведение десятичной дроби к целому числу при делении. Чтобы разделить на десятичную дробь, умножают делимое и делитель на одну и ту же степень 10, чтобы делитель стал целым. Пример: $4{,}5 : 0{,{}}5 = 45 : 5 = 9$.

Метод 3. Общий знаменатель для обыкновенных дробей. Перед сложением или вычитанием обыкновенных дробей с разными знаменателями находится наименьшее общее кратное знаменателей, дроби приводятся к нему. Пример: $\frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$.

Метод 4. Смешанное выражение (десятичные и обыкновенные дроби вместе). Если в одном выражении встречаются обыкновенная и десятичная дробь, удобно перевести все числа в один вид — чаще в десятичные дроби, если перевод даёт конечную десятичную дробь. Пример: $\frac{1}{4} + 0{,}6 = 0{,}25 + 0{,}6 = 0{,}85$.

Метод 5. Разложение на удобные части при умножении. При умножении десятичной дроби на целое число иногда удобнее представить множитель как сумму «круглых» чисел и посчитать по частям, чтобы избежать ошибок с запятой. Пример: $1{,}5 \times 8{,}2 = 1{,}5 \times 8 + 1{,}5 \times 0{,}2 = 12 + 0{,}3 = 12{,}3$.

Алгоритм решения по шагам

1. Прочитать выражение внимательно и определить, какие операции присутствуют и в каком порядке они должны выполняться (скобки → умножение/деление → сложение/вычитание).
2. Если внутри выражения есть скобки — вычислить их значение первым.
3. Определить тип чисел: десятичные дроби, обыкновенные дроби или смесь. Если удобно, перевести все числа в один формат.
4. Выполнить деление и умножение по правилам десятичных или обыкновенных дробей, аккуратно отслеживая положение запятой или знаменатель.
5. Выполнить сложение и вычитание, следя за совпадением разрядов (для десятичных дробей) или общим знаменателем (для обыкновенных).
6. Проверить полученный результат — прикинуть порядок величины (например, если складывались числа около 4 и 9, результат должен быть около 13, а не 130 или 1,3).
7. Записать ответ в требуемом формате: десятичная дробь с запятой, без лишних нулей, если не оговорено иное.

Разбор примеров

Пример 1. Найдите значение выражения $(3{,}9 - 2{,}4) \times 8{,}2$.

Шаг 1. Выполняем действие в скобках: $3{,}9 - 2{,}4$. Вычитаем десятичные дроби, выравнивая разряды: $$3{,}9 - 2{,}4 = 1{,}5.$$

Шаг 2. Умножаем полученный результат на $8{,}2$: $$1{,}5 \times 8{,}2.$$ Умножим числа без запятых: $15 \times 82 = 1230$. В множителях суммарно один знак после запятой у $1{,}5$ и один знак у $8{,}2$, всего два знака. Отделяем два знака справа: $1230 \to 12{,}30 = 12{,}3$.

Шаг 3. Проверка прикидкой: $1{,}5 \times 8 = 12$, значит $1{,}5 \times 8{,}2$ должно быть немного больше 12 — результат $12{,}3$ это подтверждает.

Ответ: 12,3.

Пример 2. Найдите значение выражения $\dfrac{9{,}5 + 8{,}9}{2{,}3}$.

Шаг 1. Вычисляем числитель: $9{,}5 + 8{,}9$. Складываем десятичные дроби: $$9{,}5 + 8{,}9 = 18{,}4.$$

Шаг 2. Делим результат на знаменатель $2{,}3$: $$18{,}4 : 2{,}3.$$ Чтобы избавиться от запятой в делителе, умножаем делимое и делитель на 10: $$18{,}4 : 2{,}3 = 184 : 23.$$

Шаг 3. Выполняем деление: $23 \times 8 = 184$, значит $$184 : 23 = 8.$$

Шаг 4. Проверка: $2{,}3 \times 8 = 18{,}4$ — совпадает с числителем, значит вычисление верно.

Ответ: 8.

Пример 3. Найдите значение выражения $3{,}8 + 1{,}08 : 0{,}9$.

Шаг 1. По порядку действий деление выполняется раньше сложения. Вычисляем $1{,}08 : 0{,}9$. Чтобы делитель стал целым числом, умножаем делимое и делитель на 10: $$1{,}08 : 0{,}9 = 10{,}8 : 9.$$

Шаг 2. Выполняем деление: $9 \times 1 = 9$, остаток $1{,}8$; далее $18 : 9 = 2$. Получаем: $$10{,}8 : 9 = 1{,}2.$$

Шаг 3. Складываем результат с $3{,}8$: $$3{,}8 + 1{,}2 = 5.$$

Шаг 4. Проверка: $0{,}9 \times 1{,}2 = 1{,}08$ — делимое восстановлено верно, значит деление посчитано правильно, а итоговая сумма $5$ — корректный ответ.

Ответ: 5.

Типичные ошибки и ловушки

• Неправильный порядок действий. Часто сложение или вычитание выполняют раньше деления или умножения, забывая, что эти операции имеют приоритет. Всегда проверяйте, есть ли в выражении деление или умножение, и выполняйте их первыми (если нет скобок, меняющих порядок).
• Ошибка в положении запятой при умножении. Забывают посчитать суммарное количество знаков после запятой у обоих множителей и ставят запятую «на глаз». Надёжнее умножать числа как целые, а потом считать точное количество знаков.
• Ошибка в положении запятой при делении. Забывают одинаково сдвинуть запятую и в делимом, и в делителе — сдвигают только в одном из чисел, что меняет результат в разы.
• Неверный общий знаменатель у обыкновенных дробей. Вместо наименьшего общего кратного берут произведение знаменателей, что усложняет вычисления и повышает риск арифметической ошибки при сокращении.
• Забытые нули при вычитании десятичных дробей разной длины. Например, при вычитании $5 - 2{,}35$ забывают, что $5 = 5{,}00$, и допускают ошибку в разрядах.
• Перепутанный знак результата. При вычитании отрицательного числа или при работе с выражениями со скобками теряют знак «минус», особенно если скобка стоит перед знаком вычитания.
• Неправильный формат ответа. Ответ записывают как обыкновенную дробь, когда требуется десятичная, или наоборот, либо оставляют лишний ноль в конце (например, $12{,}30$ вместо $12{,}3$), что при автоматической проверке может быть засчитано неверно — проверяйте формат по инструкции к варианту.
• Ошибка при проверке через прикидку. Иногда прикидка выполняется небрежно и не помогает выявить грубую ошибку — важно реально сравнивать порядок величины (десятки, единицы, десятые) с полученным ответом.

Как готовиться

Для уверенного решения задания 14 нужна регулярная тренировка вычислений без калькулятора — это навык, который теряется без практики. Начните с повторения правил действий с десятичными и обыкновенными дробями, затем решайте по 10–15 однотипных примеров каждый день: сначала отдельно на сложение/вычитание, отдельно на умножение/деление десятичных дробей, отдельно на обыкновенные дроби, а затем — смешанные выражения, где встречаются оба типа чисел.

Обязательно вырабатывайте привычку проверять результат прикидкой: округлите исходные числа до целых и посчитайте примерный ответ — если итоговое число сильно отличается от прикидки, ищите ошибку в вычислениях. Полезно также решать примеры «в столбик» на черновике, а не в уме — это снижает риск ошибок с запятой и разрядами.

Отдельно потренируйтесь на переводе обыкновенных дробей в десятичные и обратно — это часто нужно в смешанных выражениях. Составьте для себя таблицу распространённых переводов ($\frac{1}{2}=0{,}5$, $\frac{1}{4}=0{,}25$, $\frac{1}{5}=0{,}2$, $\frac{3}{4}=0{,}75$ и другие) — это ускорит вычисления на экзамене.

Накануне экзамена решите несколько вариантов целиком, обращая внимание именно на формат записи ответа: десятичная дробь через запятую, без лишних нулей, без единиц измерения. Такая подготовка сведёт вероятность ошибки в задании 14 к минимуму и даст гарантированный балл.