Задание 9 ЕГЭ база: задачи на квадратной решётке — теория и разбор

Что проверяет задание

Задание 9 проверяет умение работать с фигурами, изображёнными на клетчатой (квадратной) решётке. Проверяется три навыка одновременно: чтение чертежа на клетчатой бумаге, знание формул площади треугольника, трапеции, ромба и произвольного четырёхугольника, а также умение оценивать площадь фигур неправильной формы — например, озёр на плане местности — через подсчёт клеток. Задание не требует сложных вычислений, но требует аккуратности и понимания геометрического смысла клетки как единицы измерения.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичные формулировки:

• «Найдите площадь треугольника (трапеции, ромба, четырёхугольника), изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$».
• «На рисунке изображён план местности (шаг сетки соответствует 1 км на местности). Оцените площадь озера, изображённого на плане. Ответ округлите до целого числа».

Задание оценивается в 1 балл, ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Никаких дополнительных обоснований записывать не нужно — в бланк вносится только результат.

Что нужно знать

• Площадь клетки при стороне $1$ равна $1$ квадратной единице (км², см² и т. д., в зависимости от условия).
• Площадь треугольника: $S = \dfrac{1}{2} a h$, где $a$ — основание, $h$ — высота.
• Площадь треугольника через координаты вершин (формула площади по трём точкам): $$S = \frac{1}{2}\left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right|$$
• Площадь прямоугольного треугольника с катетами на линиях решётки: $S = \dfrac{1}{2}\, x \cdot y$, где $x, y$ — длины катетов в клетках.
• Площадь трапеции: $S = \dfrac{a+b}{2}\cdot h$, где $a, b$ — основания, $h$ — высота.
• Площадь ромба через диагонали: $S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$.
• Площадь произвольного многоугольника с вершинами в узлах решётки — формула Пика: $$S = B + \frac{P}{2} - 1$$ где $B$ — число узлов решётки внутри многоугольника, $P$ — число узлов на его границе.
• Площадь фигуры неправильной формы (озеро, лес на карте) оценивается через подсчёт клеток: полные клетки внутри контура считаются целиком, клетки, пересечённые границей, считаются приблизительно наполовину.
• Масштаб: если шаг сетки соответствует, например, 1 км, то площадь одной клетки на местности равна $1\ \text{км}^2$, и переводить величины не нужно — можно сразу считать клетки в квадратных километрах.

Методы решения

1. Формула "половина произведения катетов" для прямоугольного треугольника. Если катеты треугольника идут по линиям сетки, площадь находится напрямую. Пример: катеты равны $3$ и $4$ клеткам, тогда $S = \dfrac{1}{2}\cdot 3 \cdot 4 = 6$.

2. Формула Пика для произвольного многоугольника с вершинами в узлах. Подсчитываем точки внутри ($B$) и на границе ($P$), применяем $S = B + P/2 - 1$. Пример: четырёхугольник с $B=5$ внутренними точками и $P=4$ граничными точками имеет площадь $S = 5 + 2 - 1 = 6$.

3. Разбиение фигуры на простые части (треугольники и прямоугольники). Сложный четырёхугольник или трапецию можно разрезать диагональю на два треугольника и найти площадь каждого отдельно, а затем сложить. Пример: трапецию с основаниями $2$ и $5$ и высотой $3$ можно разбить на прямоугольник $2 \times 3$ и два треугольника, суммарная площадь совпадает с формулой $S = \dfrac{2+5}{2}\cdot 3 = 10{,}5$.

4. Метод "дополнения до прямоугольника". Фигуру вписывают в наименьший охватывающий прямоугольник, находят его площадь, а затем вычитают площади угловых треугольников, которые остались снаружи фигуры, но внутри прямоугольника. Удобен для ромбов и произвольных четырёхугольников, повёрнутых относительно линий сетки.

5. Оценка площади через подсчёт клеток (для озёр и планов местности). Контур накладывается на сетку, считаются полные клетки внутри ($n_1$) и клетки, через которые проходит граница ($n_2$). Приблизительная площадь: $$S \approx n_1 + \frac{n_2}{2}$$ Результат округляется до целого числа, как требует условие.

Алгоритм решения по шагам

Для многоугольника с вершинами в узлах сетки:

1. Определить тип фигуры (треугольник, трапеция, ромб, произвольный четырёхугольник).
2. Если стороны идут по линиям сетки — искать основание и высоту напрямую по клеткам.
3. Если фигура повёрнута относительно сетки — использовать метод Пика или разбиение на простые части.
4. Подставить найденные величины в соответствующую формулу площади.
5. Проверить ответ на разумность: сравнить площадь фигуры с площадью охватывающего прямоугольника — она не может быть больше.

Для озера или фигуры неправильной формы на плане местности:

1. Наложить мысленную сетку на контур фигуры (сетка уже дана на рисунке).
2. Сосчитать клетки, целиком лежащие внутри контура — это число $n_1$.
3. Сосчитать клетки, через которые проходит граница фигуры (неполные клетки) — это число $n_2$.
4. Оценить площадь по формуле $S \approx n_1 + n_2/2$.
5. Округлить результат до целого числа, как требует условие, и учесть масштаб (шаг сетки в километрах).

Разбор примеров

Пример 1. На плане местности шаг сетки равен 1 км. Нужно оценить площадь озера Шлинцо, округлив до целого.

Шаг 1. Накладываем сетку на контур озера и считаем клетки, целиком лежащие внутри контура. Пусть таких клеток одна — $n_1 = 1$.

Шаг 2. Считаем клетки, через которые проходит граница озера (неполные клетки). Таких клеток две — $n_2 = 2$.

Шаг 3. Применяем формулу оценки площади: $$S \approx n_1 + \frac{n_2}{2} = 1 + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2$$

Шаг 4. Так как шаг сетки равен 1 км, площадь получается сразу в квадратных километрах. Округление до целого не требуется — результат уже целый.

Ответ: $2$.

Пример 2. Нужно оценить площадь озера Глухое на том же плане.

Шаг 1. Считаем полные клетки внутри контура. Озеро небольшое, полностью занятых клеток нет — $n_1 = 0$.

Шаг 2. Считаем клетки, пересечённые границей озера. Таких клеток две — $n_2 = 2$.

Шаг 3. Оценка площади: $$S \approx 0 + \frac{2}{2} = 0 + 1 = 1$$

Шаг 4. Проверяем правдоподобность: озеро маленькое, значение $1\ \text{км}^2$ выглядит разумно для водоёма, занимающего примерно две частично заполненные клетки.

Ответ: $1$.

Пример 3. Нужно оценить площадь озера Великое.

Шаг 1. Считаем полные клетки внутри контура. Озеро крупнее предыдущих, полностью занятых клеток две — $n_1 = 2$.

Шаг 2. Считаем клетки, пересечённые границей. Таких клеток две — $n_2 = 2$.

Шаг 3. Применяем формулу: $$S \approx 2 + \frac{2}{2} = 2 + 1 = 3$$

Шаг 4. Так как шаг сетки соответствует 1 км, полученное число сразу даёт ответ в квадратных километрах, округление не меняет результат.

Ответ: $3$.

Во всех трёх примерах ключевая идея одна: полные клетки дают гарантированную площадь, а частично занятые клетки дают в среднем половину своей площади, поэтому их количество делится на два. Этот приём — упрощённый вариант палетки, стандартного инструмента для оценки площади фигур неправильной формы на картах.

Типичные ошибки и ловушки

• Путают число внутренних и граничных точек в формуле Пика, забывая, что вычитается единица.
• Считают клетки, через которые проходит граница, как полностью входящие в площадь, что даёт завышенный результат.
• Забывают округлить ответ до целого числа, хотя это явно указано в условии.
• Неправильно определяют высоту треугольника или трапеции, если она не совпадает с линией сетки — путают наклонную сторону с высотой.
• Считают площадь ромба как произведение сторон, а не через полусумму произведения диагоналей.
• При работе с планом местности забывают учитывать масштаб и переводят клетки в квадратные единицы неверно, хотя обычно шаг сетки соответствует ровно единице масштаба и пересчёт не нужен.
• Пропускают частично отрезанные крайние клетки при подсчёте, из-за чего итоговая оценка получается заниженной.

Как готовиться

Полезно решить подряд десять-пятнадцать задач разных типов: несколько треугольников на решётке, пару трапеций и ромбов, произвольные четырёхугольники и три-четыре задачи на оценку площади озёр или лесных массивов по плану местности. Для многоугольников с вершинами в узлах стоит один раз подробно потренироваться в применении формулы Пика — она закрывает почти все сложные случаи, где высоту или основание сложно увидеть напрямую. Для задач с озёрами лучше сразу привыкнуть считать клетки в два прохода: сначала полные, потом неполные, деля их число на два — это устраняет большинство ошибок при округлении. Хорошей тренировкой станет прикидка площади "на глаз" перед точным подсчётом: такая проверка сразу отсекает грубые арифметические промахи.