Задание 9: Задачи на квадратной решетке

Типичные формулировки:

• «Найдите площадь треугольника (трапеции, ромба, четырёхугольника), изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$».
• «На рисунке изображён план местности (шаг сетки соответствует 1 км на местности). Оцените площадь озера, изображённого на плане. Ответ округлите до целого числа».

Задание оценивается в 1 балл, ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Никаких дополнительных обоснований записывать не нужно — в бланк вносится только результат.

• Площадь клетки при стороне $1$ равна $1$ квадратной единице (км², см² и т. д., в зависимости от условия).
• Площадь треугольника: $S = \dfrac{1}{2} a h$, где $a$ — основание, $h$ — высота.
• Площадь треугольника через координаты вершин (формула площади по трём точкам): $$S = \frac{1}{2}\left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right|$$
• Площадь прямоугольного треугольника с катетами на линиях решётки: $S = \dfrac{1}{2}\, x \cdot y$, где $x, y$ — длины катетов в клетках.
• Площадь трапеции: $S = \dfrac{a+b}{2}\cdot h$, где $a, b$ — основания, $h$ — высота.
• Площадь ромба через диагонали: $S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$.
• Площадь произвольного многоугольника с вершинами в узлах решётки — формула Пика: $$S = B + \frac{P}{2} - 1$$ где $B$ — число узлов решётки внутри многоугольника, $P$ — число узлов на его границе.
• Площадь фигуры неправильной формы (озеро, лес на карте) оценивается через подсчёт клеток: полные клетки внутри контура считаются целиком, клетки, пересечённые границей, считаются приблизительно наполовину.
• Масштаб: если шаг сетки соответствует, например, 1 км, то площадь одной клетки на местности равна $1\ \text{км}^2$, и переводить величины не нужно — можно сразу считать клетки в квадратных километрах.

Для многоугольника с вершинами в узлах сетки:

1. Определить тип фигуры (треугольник, трапеция, ромб, произвольный четырёхугольник).
2. Если стороны идут по линиям сетки — искать основание и высоту напрямую по клеткам.
3. Если фигура повёрнута относительно сетки — использовать метод Пика или разбиение на простые части.
4. Подставить найденные величины в соответствующую формулу площади.
5. Проверить ответ на разумность: сравнить площадь фигуры с площадью охватывающего прямоугольника — она не может быть больше.

Для озера или фигуры неправильной формы на плане местности:

1. Наложить мысленную сетку на контур фигуры (сетка уже дана на рисунке).
2. Сосчитать клетки, целиком лежащие внутри контура — это число $n_1$.
3. Сосчитать клетки, через которые проходит граница фигуры (неполные клетки) — это число $n_2$.
4. Оценить площадь по формуле $S \approx n_1 + n_2/2$. …