Задание 10 ЕГЭ база: прикладная геометрия — квадрат, окружность, трапеция, треугольник, прямоугольник

Что проверяет задание

Задание 10 базового ЕГЭ по математике проверяет умение применять геометрические знания к реальным жизненным ситуациям. Это не абстрактная геометрия из учебника, а задачи «из жизни»: масштаб карты, размеры участка, длина плеча рычага, объём бака, площадь пола. Проверяется способность:

• перевести словесное описание ситуации в геометрическую модель (чертёж, формулу);
• правильно подобрать формулу площади, периметра, объёма или пропорции;
• аккуратно выполнить арифметические вычисления, часто с переводом единиц измерения.

Особенность заданий этого типа — простая математика, но важна внимательность к деталям условия: единицы измерения, что именно нужно найти, какие фигуры участвуют в задаче.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка звучит как практическая задача с конкретными числами: «Найдите площадь участка», «На сколько сантиметров изменится длина плеча», «Сколько банок краски потребуется». Часто в условии есть рисунок или чертёж, поясняющий ситуацию — план участка, схема рычага, изображение трапеции или окружности.

Задание оценивается в 1 балл. Ответ — это целое число или конечная десятичная дробь, которую нужно вписать в бланк без единиц измерения (единицы указаны в самом вопросе). Никакого решения проверять не будут — важен только правильный итоговый ответ, поэтому цена ошибки в вычислениях равна всему баллу за задание.

Что нужно знать

Для уверенного решения задания 10 нужно держать в голове базовый набор формул планиметрии и правил работы с масштабом.

• Площадь квадрата со стороной $a$: $S = a^2$.
• Периметр квадрата: $P = 4a$.
• Площадь прямоугольника со сторонами $a$ и $b$: $S = ab$.
• Периметр прямоугольника: $P = 2(a+b)$.
• Площадь треугольника с основанием $a$ и высотой $h$: $S = \dfrac{1}{2}ah$.
• Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними: $S = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$.
• Площадь трапеции с основаниями $a$, $b$ и высотой $h$: $S = \dfrac{a+b}{2}\cdot h$.
• Длина окружности радиуса $r$: $L = 2\pi r$.
• Площадь круга радиуса $r$: $S = \pi r^2$.
• Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника: $c^2 = a^2 + b^2$.
• Правило масштаба карты: если масштаб "в 1 см — $k$ км", то реальное расстояние $= k \cdot (\text{длина на карте в см})$.
• Свойство подобных треугольников (рычаг, «журавль»): отношения соответствующих сторон равны, углы равны.
• Площадь сложной фигуры часто находится как разность площадей: $S_{\text{остаток}} = S_{\text{большая фигура}} - S_{\text{вырезанная часть}}$.

Эти формулы покрывают почти все варианты задания 10 — сложность обычно не в самой формуле, а в правильной интерпретации условия.

Методы решения

Метод масштабирования (карты, планы). Если известен масштаб «в 1 см — $k$ единиц», реальная величина получается умножением измеренной на карте длины на коэффициент $k$. Мини-пример: масштаб 1 см — 5 км, на карте отрезок 3 см, тогда реальное расстояние $3 \cdot 5 = 15$ км.

Метод разности площадей (квадрат и прямоугольник). Когда нужно найти площадь оставшейся части участка после вычитания дома, бассейна или дорожки, вычисляют площадь всей фигуры и вычитают площадь вырезанной части: $S = S_{\text{участка}} - S_{\text{постройки}}$. Мини-пример: квадрат $10\times10$ м, внутри прямоугольник $2\times3$ м — оставшаяся площадь $100 - 6 = 94$ м².

Метод подобия треугольников (рычаг, «журавль», тень от предмета). Если два отрезка (плечи рычага) связаны через одну точку опоры и движутся синхронно, отношение перемещений концов равно отношению длин плеч: $\dfrac{h_1}{h_2} = \dfrac{l_1}{l_2}$, где $l_1$, $l_2$ — длины плеч, $h_1$, $h_2$ — перемещения концов. Мини-пример: плечи 2 м и 6 м, короткое опустилось на 1 м, тогда длинное поднимется на $1 \cdot \dfrac{6}{2} = 3$ м.

Метод разбиения фигуры на простые части (трапеция, сложные участки). Сложную фигуру (например, трапецию или участок неправильной формы) разбивают на прямоугольники и треугольники, находят площадь каждой части и складывают. Мини-пример: трапеция с основаниями 4 и 8 м и высотой 3 м раскладывается на прямоугольник $4\times3$ и два треугольника, сумма площадей равна площади по формуле трапеции $\dfrac{4+8}{2}\cdot 3 = 18$ м².

Метод формул окружности и круга. Для задач про клумбы круглой формы, колёса, трубы применяют формулы длины окружности и площади круга, часто в сочетании с диаметром: $r = \dfrac{d}{2}$. Мини-пример: диаметр клумбы 4 м, площадь $S = \pi \left(\dfrac{4}{2}\right)^2 = 4\pi \approx 12{,}56$ м².

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитать условие, выделить, что дано и что требуется найти, обратить внимание на единицы измерения.
2. Если есть рисунок — рассмотреть его, отметить все данные размеры на чертеже; если рисунка нет — сделать набросок самостоятельно.
3. Определить, какая геометрическая фигура или ситуация описана (квадрат, прямоугольник, трапеция, окружность, подобные треугольники, масштаб).
4. Выбрать подходящую формулу или метод (масштабирование, разность площадей, подобие, разбиение на части).
5. Подставить данные значения в формулу, при необходимости перевести единицы измерения к одному виду (метры, сантиметры, километры).
6. Выполнить вычисления аккуратно, при делении и умножении дробей проверять порядок действий.
7. Сравнить полученный ответ с условием по смыслу (например, площадь не может быть отрицательной, расстояние — разумной величины).
8. Записать итоговый числовой ответ без единиц измерения, если это требуется форматом бланка.

Разбор примеров

Пример 1. Масштаб карты такой, что в одном сантиметре — 12 км. Нужно найти расстояние между городами A и B, если на карте оно составляет 4 см.

Шаг 1. Определяем метод: это задача на масштабирование, где реальное расстояние равно произведению масштабного коэффициента на измеренную длину.

Шаг 2. Масштабный коэффициент $k = 12$ км/см, длина на карте $l = 4$ см.

Шаг 3. Реальное расстояние: $d = k \cdot l = 12 \cdot 4 = 48$ км.

Ответ: 48.

Пример 2. Колодец с «журавлём»: короткое плечо длиной 3 м, длинное плечо — 4 м. Нужно найти, на сколько метров опустится конец длинного плеча, если конец короткого поднимется на 1,5 м.

Шаг 1. Это задача на подобие: концы плеч рычага при повороте вокруг точки опоры движутся по дугам, но для малых перемещений считается, что перемещения пропорциональны длинам плеч (плечи как катеты подобных треугольников относительно точки опоры).

Шаг 2. Записываем пропорцию: $\dfrac{h_{\text{дл}}}{h_{\text{кор}}} = \dfrac{l_{\text{дл}}}{l_{\text{кор}}}$, где $l_{\text{дл}} = 4$ м, $l_{\text{кор}} = 3$ м, $h_{\text{кор}} = 1{,}5$ м — известное перемещение короткого плеча.

Шаг 3. Находим перемещение длинного плеча: $h_{\text{дл}} = h_{\text{кор}} \cdot \dfrac{l_{\text{дл}}}{l_{\text{кор}}} = 1{,}5 \cdot \dfrac{4}{3} = 2$ м.

Шаг 4. По смыслу задачи, если короткое плечо поднимается, длинное плечо (соединённое с ним через точку опоры) опускается на ту же величину по модулю — это стандартное поведение рычага-«журавля».

Ответ: 2.

Пример 3. Дачный участок имеет форму квадрата со стороной 30 м. На участке расположен дом в форме прямоугольника размерами 8 м × 5 м. Нужно найти площадь оставшейся части участка.

Шаг 1. Определяем метод: задача на разность площадей — площадь участка минус площадь дома.

Шаг 2. Площадь квадратного участка: $S_{\text{уч}} = a^2 = 30^2 = 900$ м².

Шаг 3. Площадь дома-прямоугольника: $S_{\text{дом}} = 8 \cdot 5 = 40$ м².

Шаг 4. Площадь оставшейся части: $S = S_{\text{уч}} - S_{\text{дом}} = 900 - 40 = 860$ м².

Ответ: 860.

Типичные ошибки и ловушки

• Путаница единиц измерения. В условии могут смешиваться сантиметры, метры и километры — перед вычислением все величины нужно привести к одной единице.
• Забывают, что ответ должен быть без единиц измерения, если это указано в вопросе — иногда школьники дописывают «м» или «км», что может привести к ошибке при автоматической проверке.
• Неверная формула площади фигуры. Например, путают периметр и площадь, площадь трапеции считают как для прямоугольника, забывая делить сумму оснований на 2.
• Ошибка в задачах на подобие рычага/тени. Иногда переставляют местами длинное и короткое плечо в пропорции, получая обратное значение.
• Неправильное считывание чертежа. Если на рисунке даны не все стороны напрямую, а только часть размеров, нужно достроить недостающие через сложение или вычитание отрезков, а не додумывать значения.
• Округление раньше времени. Если в задаче встречается $\pi$, не стоит округлять его слишком рано — это может исказить итоговый ответ, если требуется точное число.
• Пропуск вычитания при поиске «остатка» площади. В задачах про участок с постройкой забывают вычесть площадь дома, бассейна или дорожки и указывают площадь всего участка целиком.
• Ошибки в арифметике при умножении многозначных чисел — стоит проверять вычисления повторным способом (например, через прикидку порядка величины).

Как готовиться

Лучший способ подготовки — прорешать как можно больше задач каждого типа: с картой и масштабом, с квадратными и прямоугольными участками, с трапецией, окружностью и рычагами. Полезно завести таблицу формул площади и периметра всех основных фигур и держать её перед глазами при первых тренировках, пока формулы не закрепятся в памяти автоматически.

При разборе каждой новой задачи стоит сначала делать собственный чертёж, даже если в условии есть готовый рисунок — это помогает лучше понять расположение элементов и не упустить важные детали. После решения полезно возвращаться к условию и проверять, соответствует ли полученное число здравому смыслу: если площадь участка получилась отрицательной или расстояние между городами — доли сантиметра, значит где-то допущена ошибка.

Особое внимание нужно уделить задачам на подобие (рычаги, тени, «журавли») — именно они чаще всего вызывают трудности из-за необходимости правильно построить пропорцию. Тренироваться стоит на разных вариациях: где известно перемещение короткого плеча и нужно найти длинное, и наоборот.

Накануне экзамена полезно повторить единицы измерения и правила их перевода (сантиметры в метры, метры в километры), а также вспомнить, что ответ в задании 10 базового ЕГЭ почти всегда представляет собой целое число или простую дробь — если в процессе решения получается громоздкое иррациональное выражение, вероятно, где-то допущена ошибка в выборе метода или формулы.