Задание 10: Прикладная геометрия

Типичная формулировка звучит как практическая задача с конкретными числами: «Найдите площадь участка», «На сколько сантиметров изменится длина плеча», «Сколько банок краски потребуется». Часто в условии есть рисунок или чертёж, поясняющий ситуацию — план участка, схема рычага, изображение трапеции или окружности.

…

Для уверенного решения задания 10 нужно держать в голове базовый набор формул планиметрии и правил работы с масштабом.

• Площадь квадрата со стороной $a$: $S = a^2$.
• Периметр квадрата: $P = 4a$.
• Площадь прямоугольника со сторонами $a$ и $b$: $S = ab$.
• Периметр прямоугольника: $P = 2(a+b)$.
• Площадь треугольника с основанием $a$ и высотой $h$: $S = \dfrac{1}{2}ah$.
• Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними: $S = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$.
• Площадь трапеции с основаниями $a$, $b$ и высотой $h$: $S = \dfrac{a+b}{2}\cdot h$.
• Длина окружности радиуса $r$: $L = 2\pi r$.
• Площадь круга радиуса $r$: $S = \pi r^2$.
• Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника: $c^2 = a^2 + b^2$.
• Правило масштаба карты: если масштаб "в 1 см — $k$ км", то реальное расстояние $= k \cdot (\text{длина на карте в см})$.
• Свойство подобных треугольников (рычаг, «журавль»): отношения соответствующих сторон равны, углы равны.
• Площадь сложной фигуры часто находится как разность площадей: $S_{\text{остаток}} = S_{\text{большая фигура}} - S_{\text{вырезанная часть}}$.

Эти формулы покрывают почти все варианты задания 10 — сложность обычно не в самой формуле, а в правильной интерпретации условия.

1. Внимательно прочитать условие, выделить, что дано и что требуется найти, обратить внимание на единицы измерения.
2. Если есть рисунок — рассмотреть его, отметить все данные размеры на чертеже; если рисунка нет — сделать набросок самостоятельно.
3. Определить, какая геометрическая фигура или ситуация описана (квадрат, прямоугольник, трапеция, окружность, подобные треугольники, масштаб).
4. Выбрать подходящую формулу или метод (масштабирование, разность площадей, подобие, разбиение на части).
5. Подставить данные значения в формулу, при необходимости перевести единицы измерения к одному виду (метры, сантиметры, километры).
6. Выполнить вычисления аккуратно, при делении и умножении дробей проверять порядок действий.
7. Сравнить полученный ответ с условием по смыслу (например, площадь не может быть отрицательной, расстояние — разумной величины). …