Законы сохранения энергии и импульса — теория для ЕГЭ

Коротко о главном

Закон сохранения импульса (ЗСИ) и закон сохранения энергии (ЗСЭ) — два фундаментальных инструмента для решения задач о столкновениях, взрывах, движении тел и превращениях энергии. ЗСИ работает для замкнутых систем (или проекции импульса при равенстве нулю внешних сил в этом направлении). ЗСЭ в механике связывает кинетическую и потенциальную энергию, а с учётом трения и деформаций — включает переход в тепло.

Определения и формулы/правила

Импульс тела: $$\vec p = m\vec v$$

Закон сохранения импульса (для замкнутой системы или системы, где сумма внешних сил равна нулю): $$\sum \vec p_{до} = \sum \vec p_{после}$$

Для двух тел при столкновении: $$m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2 = m_1\vec v_1' + m_2\vec v_2'$$

Виды ударов:

Тип удара	Что сохраняется	Формула скорости после
Абсолютно неупругий	Только импульс (энергия переходит в тепло)	$v = \dfrac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$
Абсолютно упругий	Импульс и кинетическая энергия	Система уравнений ЗСИ + ЗСЭ

Кинетическая энергия: $$E_k = \dfrac{mv^2}{2}$$

Потенциальная энергия тяжести: $$E_p = mgh$$

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины: $$E_p = \dfrac{kx^2}{2}$$

Закон сохранения механической энергии (нет трения и неупругих деформаций): $$E_{k1}+E_{p1} = E_{k2}+E_{p2}$$

С учётом трения (энергия переходит в тепло $Q$): $$E_{k1}+E_{p1} = E_{k2}+E_{p2}+Q$$

Работа силы: $$A = Fs\cos\alpha$$

Теорема о кинетической энергии: $$A_{результ} = E_{k2}-E_{k1}$$

Мощность: $$N = \dfrac{A}{t} = Fv\cos\alpha$$

Как применять

Пример 1. Неупругое столкновение. Вагон массой 20 т, движущийся со скоростью 4 м/с, сталкивается с неподвижным вагоном массой 30 т и сцепляется с ним. Найти скорость после сцепки.

По ЗСИ: $m_1v_1 = (m_1+m_2)v$ $$v = \dfrac{20000\cdot4}{20000+30000} = 1{,}6\ \text{м/с}$$

Пример 2. Свободное падение с ЗСЭ. Тело падает с высоты 20 м без начальной скорости. Найти скорость у земли (сопротивлением пренебречь).

$mgh = \dfrac{mv^2}{2} \Rightarrow v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot10\cdot20}=20$ м/с.

Пример 3. Выстрел (реактивное движение). Пушка массой 500 кг покоится, снаряд массой 5 кг вылетает со скоростью 200 м/с. Найти скорость отдачи пушки.

Сумма импульсов до выстрела равна нулю, значит: $$m_1v_1 = m_2v_2 \Rightarrow v_1 = \dfrac{5\cdot200}{500}=2\ \text{м/с (в обратную сторону)}$$

Типичные ошибки

• Применение ЗСИ без учёта векторного характера — нужно учитывать знаки при разнонаправленном движении.
• Использование ЗСЭ без учёта трения или деформации, когда энергия явно теряется (задача про пластилин, столкновение с прилипанием).
• Путаница между "импульс" и "энергия": при неупругом ударе сохраняется только импульс, кинетическая энергия — нет.
• Забывают перевести единицы (тонны в кг, км/ч в м/с) перед подстановкой в формулы.
• Ошибка в определении системы отсчёта или направления осей при разложении векторов импульса.
• Неверное применение формулы потенциальной энергии пружины при незакреплённом конце или предварительной деформации.

Где встречается на экзамене

Законы сохранения — сквозная тема ЕГЭ: в задании 3 проверяют базовое понимание формул импульса и энергии, в задании 5 — качественные и графические задачи на изменение величин, в задании 6 — расчётные задачи на применение ЗСИ/ЗСЭ по отдельности или вместе. В задании 26 (второй части) законы сохранения часто комбинируются с динамикой, кинематикой или электродинамикой в развёрнутых задачах с полным решением.