Задание 3 ЕГЭ по физике: законы сохранения в механике

Что проверяет задание

Задание 3 проверяет умение применять законы сохранения в механике для расчёта конкретных физических величин: скорости, энергии, импульса, работы или мощности. Здесь не требуется составлять сложные системы уравнений — достаточно правильно выбрать закон (сохранения энергии или импульса), корректно расставить величины в формулу и выполнить арифметику. Основная сложность — не в математике, а в понимании, какая величина сохраняется в конкретной ситуации, а какая переходит из одной формы в другую.

Проверяются четыре смысловых блока: механическая энергия и её сохранение, работа и мощность силы, импульс тела, закон сохранения импульса и связь силы с изменением импульса (второй закон Ньютона в импульсной форме). Задачи почти всегда решаются в одно-два действия, но требуют аккуратности с знаками, направлениями векторов и единицами измерения.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Задание представлено в виде текстовой задачи с числовыми данными: масса, скорость, высота, деформация пружины, время действия силы и так далее. Требуется найти числовое значение искомой величины в заданных единицах измерения (обычно джоули, метры в секунду, ньютон-секунды, ватты). Ответ вводится в виде числа без указания единиц — они уже прописаны в условии.

Задание оценивается в 1 первичный балл. Решение проверяется автоматически, поэтому важен только правильный числовой результат — округление и формат ответа нужно соблюдать строго по условию (например, «ответ дайте в джоулях» означает, что округлять до целого не нужно, если получилось целое число, а если дробное — следовать формату, указанному в демоверсии текущего года).

Сложность задания — базовая, но именно из-за кажущейся простоты школьники часто теряют баллы на невнимательности: путают квадрат скорости, забывают про знак работы силы трения, неверно переводят единицы (сантиметры в метры, граммы в килограммы).

Что нужно знать

Механическая энергия и закон сохранения энергии

• Кинетическая энергия: $E_k = \dfrac{mv^2}{2}$
• Потенциальная энергия тела в поле тяжести: $E_p = mgh$
• Потенциальная энергия упругой деформации: $E_p = \dfrac{kx^2}{2}$
• Полная механическая энергия: $E = E_k + E_p$
• Закон сохранения механической энергии (без трения и сопротивления): $E_1 = E_2$, то есть $\dfrac{mv_1^2}{2} + mgh_1 = \dfrac{mv_2^2}{2} + mgh_2$
• При наличии трения часть энергии переходит в тепло: $E_1 = E_2 + Q_{тр}$, где $Q_{тр} = A_{тр}$ — модуль работы силы трения

Механическая работа и мощность

• Работа постоянной силы: $A = F s \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между силой и перемещением
• Работа силы тяжести: $A = mgh$ (не зависит от траектории)
• Работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии (теорема о кинетической энергии): $A = E_{k2} - E_{k1} = \dfrac{mv_2^2}{2} - \dfrac{mv_1^2}{2}$
• Средняя мощность: $N = \dfrac{A}{t}$
• Мгновенная мощность при постоянной скорости: $N = Fv$

Импульс тела и закон сохранения импульса

• Импульс тела: $\vec{p} = m\vec{v}$
• Второй закон Ньютона в импульсной форме: $\vec{F}\,\Delta t = \Delta \vec{p} = m\vec{v}_2 - m\vec{v}_1$
• Импульс силы: $\vec{F}\,\Delta t$
• Закон сохранения импульса для замкнутой системы: $\sum \vec{p}_{до} = \sum \vec{p}_{после}$
• Для двух тел при столкновении: $m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v}_1' + m_2\vec{v}_2'$
• При абсолютно неупругом ударе тела движутся с общей скоростью: $m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1+m_2)v$

Все векторные величины (скорость, импульс, сила) в задачах на прямой линии учитываются с учётом знака направления — это частый источник ошибок.

Методы решения

1. Метод сравнения энергий в двух состояниях (закон сохранения механической энергии)

Если трения нет, полная энергия в начальной и конечной точках одинакова. Пример: тело падает с высоты $h$ без начальной скорости — вся потенциальная энергия переходит в кинетическую, $mgh = \dfrac{mv^2}{2}$, откуда $v = \sqrt{2gh}$.

2. Метод разности энергий (для изменения одной из форм энергии)

Если известны скорости в двух точках движения, а трения нет, то изменение потенциальной энергии равно убыли кинетической: $\Delta E_p = -\Delta E_k = \dfrac{mv_1^2}{2} - \dfrac{mv_2^2}{2}$. Пример: тело подбросили со скоростью 6 м/с, когда скорость уменьшилась до 4 м/с, потенциальная энергия увеличилась на $\dfrac{m(6^2-4^2)}{2} = 10m$ Дж.

3. Метод квадратичной зависимости энергии пружины от деформации

Потенциальная энергия пружины пропорциональна квадрату удлинения: $E_p \sim x^2$. Если деформация увеличилась в $n$ раз, энергия увеличивается в $n^2$ раз. Пример: при удлинении пружины с 3 см до 9 см (в 3 раза) энергия возрастает в 9 раз.

4. Метод теоремы о кинетической энергии для нахождения работы

Когда неизвестна сила, но известны скорости до и после действия силы, работу находят через изменение кинетической энергии: $A = \dfrac{mv_2^2}{2} - \dfrac{mv_1^2}{2}$. Пример: тело массой 2 кг разогналось с 3 до 5 м/с — работа силы равна $\dfrac{2\cdot25}{2}-\dfrac{2\cdot9}{2} = 25-9=16$ Дж.

5. Метод закона сохранения импульса для взаимодействия тел

При взрыве, выстреле, столкновении или разлёте тел суммарный импульс системы до и после взаимодействия одинаков, если внешние силы (трение, тяжесть в горизонтальном направлении) пренебрежимо малы за время взаимодействия. Пример: покоящееся тело массой 5 кг разрывается на два осколка по 2 кг и 3 кг; если осколок 2 кг летит со скоростью 6 м/с, то осколок 3 кг летит в противоположную сторону со скоростью $v = \dfrac{2\cdot6}{3}=4$ м/с.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить, какая физическая величина требуется в ответе, и в каких единицах её нужно записать.
2. Выяснить, есть ли в системе трение или сопротивление воздуха — от этого зависит, применим ли закон сохранения механической энергии в чистом виде.
3. Выбрать нужный закон: сохранение энергии (для скоростей, высот, деформаций), теорему о кинетической энергии (для работы силы), закон сохранения импульса (для взаимодействия нескольких тел) или импульсную форму второго закона Ньютона (для связи силы, времени и изменения скорости).
4. Записать начальное и конечное состояния системы, выписать все известные величины и перевести их в СИ (сантиметры в метры, граммы в килограммы, минуты в секунды).
5. Составить уравнение закона сохранения или теоремы, подставить числа.
6. Решить уравнение относительно искомой величины, при необходимости извлечь корень или выразить разность.
7. Проверить знак и физический смысл результата (энергия и модуль скорости не могут быть отрицательными, направление импульса должно соответствовать условию).
8. Округлить ответ в соответствии с требованием условия и записать число без единиц измерения.

Разбор примеров

Пример 1. Камень массой $m = 1$ кг брошен вертикально вверх с начальной скоростью $v_0 = 4$ м/с. На сколько увеличится потенциальная энергия камня к моменту, когда скорость уменьшится до $v = 2$ м/с?

Шаг 1. Трения и сопротивления воздуха нет, значит полная механическая энергия сохраняется: $E_{k0} + E_{p0} = E_k + E_p$.

Шаг 2. Отсюда изменение потенциальной энергии равно убыли кинетической энергии: $$\Delta E_p = E_{k0} - E_k = \dfrac{mv_0^2}{2} - \dfrac{mv^2}{2}$$

Шаг 3. Подставляем числа: $$\Delta E_p = \dfrac{1\cdot 4^2}{2} - \dfrac{1\cdot 2^2}{2} = \dfrac{16}{2} - \dfrac{4}{2} = 8 - 2 = 6 \text{ Дж}$$

Ответ: 6 Дж. Высоту подъёма и ускорение свободного падения знать не требовалось — весь расчёт сделан через изменение кинетической энергии.

Пример 2. Растянутая на $x_1 = 2$ см стальная пружина обладает потенциальной энергией упругой деформации $E_1 = 4$ Дж. На сколько увеличится потенциальная энергия при растяжении пружины ещё на 2 см (то есть до общего удлинения $x_2 = 4$ см)?

Шаг 1. Энергия деформации пружины пропорциональна квадрату удлинения: $E_p = \dfrac{kx^2}{2}$, значит отношение энергий равно квадрату отношения удлинений: $$\dfrac{E_2}{E_1} = \left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^2$$

Шаг 2. Общее удлинение стало вдвое больше исходного ($x_2 = 2x_1$), поэтому: $$E_2 = E_1 \cdot \left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^2 = 4 \cdot 2^2 = 16 \text{ Дж}$$

Шаг 3. Прирост энергии составляет разность между новым и первоначальным значением: $$\Delta E = E_2 - E_1 = 16 - 4 = 12 \text{ Дж}$$

Ответ: 12 Дж. Здесь важно не перепутать: искомая величина — не сама энергия при удлинении 4 см, а именно прирост энергии на втором участке растяжения.

Пример 3. Санки скатываются с горки высотой $h = 10$ м, имея у вершины скорость $v_0 = 5$ м/с. Трение пренебрежимо мало, $g = 10$ м/с². Найти скорость санок у подножия горки.

Шаг 1. Так как трения нет, применяем закон сохранения механической энергии между вершиной и подножием горки: $$\dfrac{mv_0^2}{2} + mgh = \dfrac{mv^2}{2}$$

Шаг 2. Масса сокращается, так как входит в каждое слагаемое: $$\dfrac{v_0^2}{2} + gh = \dfrac{v^2}{2}$$

Шаг 3. Выражаем квадрат конечной скорости: $$v^2 = v_0^2 + 2gh = 5^2 + 2\cdot 10\cdot 10 = 25 + 200 = 225$$

Шаг 4. Извлекаем корень: $$v = \sqrt{225} = 15 \text{ м/с}$$

Ответ: 15 м/с. Ключевой момент — не забыть начальную кинетическую энергию санок, а не считать только переход потенциальной энергии в кинетическую с нуля.

Типичные ошибки и ловушки

• Забывают учитывать начальную скорость тела там, где она уже задана, и решают задачу так, будто движение начинается из состояния покоя.
• Путают линейную и квадратичную зависимость: считают, что при увеличении деформации пружины в 2 раза энергия тоже увеличивается в 2 раза, хотя зависимость квадратичная.
• Не переводят единицы измерения в СИ: оставляют сантиметры вместо метров или граммы вместо килограммов, из-за чего числовой ответ получается в сотни или тысячи раз неверным.
• Путают знак работы силы трения — работа силы трения всегда отрицательна относительно направления движения, и её нужно вычитать из энергии, а не прибавлять.
• При использовании закона сохранения импульса забывают, что импульс — величина векторная, и складывают модули скоростей без учёта направления движения тел.
• Неверно применяют теорему о кинетической энергии, путая работу равнодействующей силы с работой одной из нескольких действующих сил.
• Забывают, что при абсолютно неупругом ударе энергия не сохраняется, поэтому нельзя одновременно использовать закон сохранения энергии и закон сохранения импульса без специальной оговорки в условии.
• Ошибаются при извлечении корня, забывая, что физически значим только положительный корень уравнения для модуля скорости.

Как готовиться

Начинать стоит с чёткого заучивания формул из раздела «Что нужно знать» — без автоматического узнавания $E_k = \dfrac{mv^2}{2}$ и $\vec F\Delta t = \Delta \vec p$ трудно быстро распознать нужный метод в тексте задачи. Полезно решать задачи блоками по подтемам: сначала набрать 10–15 задач только на закон сохранения энергии, затем отдельно — на работу и мощность, затем — на импульс и его сохранение. Такая тренировка вырабатывает автоматическое узнавание типа задачи по формулировке условия.

При разборе каждой решённой задачи полезно проговаривать вслух или письменно, почему выбран именно этот закон и какая величина сохраняется, а какая меняется — это укрепляет понимание физического смысла, а не механическое подставление чисел в формулу. Отдельное внимание стоит уделить задачам с пружинами и деформацией, так как квадратичная зависимость энергии от удлинения часто вызывает путаницу даже у хорошо подготовленных школьников.

Полезно завести таблицу перевода единиц измерения (сантиметры, граммы, минуты, километры в час) и тренироваться быстро переводить их в СИ ещё до начала расчётов — это устраняет большую часть арифметических ошибок. Регулярное решение вариантов с ограничением по времени (не более 2–3 минут на одну задачу) помогает выработать скорость и уверенность, необходимые на экзамене.