Задание 3: Законы сохранения в механике

Задание представлено в виде текстовой задачи с числовыми данными: масса, скорость, высота, деформация пружины, время действия силы и так далее. Требуется найти числовое значение искомой величины в заданных единицах измерения (обычно джоули, метры в секунду, ньютон-секунды, ватты). Ответ вводится в виде числа без указания единиц — они уже прописаны в условии.

…

Механическая энергия и закон сохранения энергии

• Кинетическая энергия: $E_k = \dfrac{mv^2}{2}$
• Потенциальная энергия тела в поле тяжести: $E_p = mgh$
• Потенциальная энергия упругой деформации: $E_p = \dfrac{kx^2}{2}$
• Полная механическая энергия: $E = E_k + E_p$
• Закон сохранения механической энергии (без трения и сопротивления): $E_1 = E_2$, то есть $\dfrac{mv_1^2}{2} + mgh_1 = \dfrac{mv_2^2}{2} + mgh_2$
• При наличии трения часть энергии переходит в тепло: $E_1 = E_2 + Q_{тр}$, где $Q_{тр} = A_{тр}$ — модуль работы силы трения

Механическая работа и мощность

• Работа постоянной силы: $A = F s \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между силой и перемещением
• Работа силы тяжести: $A = mgh$ (не зависит от траектории)
• Работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии (теорема о кинетической энергии): $A = E_{k2} - E_{k1} = \dfrac{mv_2^2}{2} - \dfrac{mv_1^2}{2}$
• Средняя мощность: $N = \dfrac{A}{t}$
• Мгновенная мощность при постоянной скорости: $N = Fv$

Импульс тела и закон сохранения импульса

• Импульс тела: $\vec{p} = m\vec{v}$
• Второй закон Ньютона в импульсной форме: $\vec{F}\,\Delta t = \Delta \vec{p} = m\vec{v}_2 - m\vec{v}_1$
• Импульс силы: $\vec{F}\,\Delta t$
• Закон сохранения импульса для замкнутой системы: $\sum \vec{p}_{до} = \sum \vec{p}_{после}$
• Для двух тел при столкновении: $m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v}_1' + m_2\vec{v}_2'$
• При абсолютно неупругом ударе тела движутся с общей скоростью: $m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1+m_2)v$

…

1. Определить, какая физическая величина требуется в ответе, и в каких единицах её нужно записать.
2. Выяснить, есть ли в системе трение или сопротивление воздуха — от этого зависит, применим ли закон сохранения механической энергии в чистом виде.
3. Выбрать нужный закон: сохранение энергии (для скоростей, высот, деформаций), теорему о кинетической энергии (для работы силы), закон сохранения импульса (для взаимодействия нескольких тел) или импульсную форму второго закона Ньютона (для связи силы, времени и изменения скорости).
4. Записать начальное и конечное состояния системы, выписать все известные величины и перевести их в СИ (сантиметры в метры, граммы в килограммы, минуты в секунды).
5. Составить уравнение закона сохранения или теоремы, подставить числа.
6. Решить уравнение относительно искомой величины, при необходимости извлечь корень или выразить разность. …