МКТ: основные формулы и уравнение состояния идеального газа

Коротко о главном

Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) связывает микропараметры (масса, скорость молекул) с макропараметрами газа (давление $p$, объём $V$, температура $T$). Ключевые уравнения: основное уравнение МКТ, уравнение состояния идеального газа (Менделеева–Клапейрона) и его частные случаи — газовые законы. Все задачи 7–10 строятся на подстановке величин в эти формулы с правильным переводом единиц (температура — в Кельвинах!).

Определения и формулы

Величина/закон	Формула	Комментарий
Основное уравнение МКТ	$p = \dfrac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$	$n$ — концентрация молекул, $m_0$ — масса одной молекулы
Давление через энергию	$p = \dfrac{2}{3} n \overline{E_k}$	$\overline{E_k} = \dfrac{m_0 \overline{v^2}}{2}$ — средняя кинетическая энергия молекулы
Средняя кинетическая энергия молекулы	$\overline{E_k} = \dfrac{3}{2} k T$	$k = 1{,}38\cdot10^{-23}$ Дж/К — постоянная Больцмана
Связь давления и температуры	$p = n k T$	Часто используется вместо уравнения Менделеева-Клапейрона
Уравнение Менделеева–Клапейрона	$pV = \dfrac{m}{M}RT = \nu R T$	$R = 8{,}31$ Дж/(моль·К), $\nu$ — количество вещества
Число молекул	$N = \nu N_A = \dfrac{m}{M} N_A$	$N_A = 6{,}02\cdot10^{23}$ моль⁻¹
Концентрация молекул	$n = \dfrac{N}{V}$	Число молекул в единице объёма
Плотность газа	$\rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{pM}{RT}$	Следует из уравнения состояния
Изотермический процесс ($T = \text{const}$)	$p_1 V_1 = p_2 V_2$	Закон Бойля–Мариотта
Изобарный процесс ($p = \text{const}$)	$\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}$	Закон Гей-Люссака
Изохорный процесс ($V = \text{const}$)	$\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}$	Закон Шарля
Объединённый газовый закон	$\dfrac{p_1 V_1}{T_1} = \dfrac{p_2 V_2}{T_2}$	Масса газа не меняется

Важно: температура в этих формулах — абсолютная, в Кельвинах: $T = t^\circ C + 273$.

Как применять

Пример 1. Найти среднюю кинетическую энергию молекулы газа при $T = 300$ К.

По формуле $\overline{E_k} = \dfrac{3}{2} k T$: $$\overline{E_k} = 1{,}5 \cdot 1{,}38\cdot10^{-23} \cdot 300 \approx 6{,}2\cdot10^{-21}\ \text{Дж}$$

Пример 2. Газ занимает объём $V = 2$ л при давлении $p = 2\cdot10^5$ Па и температуре $27^\circ C$. Найти количество вещества $\nu$.

Переводим: $T = 27+273=300$ К, $V = 2\cdot10^{-3}$ м³. Из $pV = \nu R T$: $$\nu = \dfrac{pV}{RT} = \dfrac{2\cdot10^5 \cdot 2\cdot10^{-3}}{8{,}31 \cdot 300} \approx 0{,}16\ \text{моль}$$

Пример 3. Газ изохорно нагревают от $T_1=300$ К до $T_2=600$ К. Как изменится давление?

По закону Шарля $\dfrac{p_1}{T_1}=\dfrac{p_2}{T_2}$, при постоянном объёме давление растёт пропорционально температуре — давление увеличится в 2 раза.

Типичные ошибки

• Подстановка температуры в градусах Цельсия вместо Кельвинов — обязательно переводить: $T = t + 273$.
• Путают формулы $p = nkT$ и $pV = \nu RT$ — они эквивалентны, но требуют разных исходных данных (концентрация или объём).
• Забывают перевести объём в м³ (1 л $= 10^{-3}$ м³) и давление в Па при использовании $R$.
• В задачах на газовые законы забывают проверить, какая величина постоянна (иначе применяют не тот закон).
• Путают массу одной молекулы $m_0$ и молярную массу $M$: $m_0 = M/N_A$.
• Ошибка в формуле энергии: $\overline{E_k}=\frac{3}{2}kT$ — это энергия одной молекулы, для энергии всего газа нужно умножать на $N$.

Где встречается на экзамене

Темы МКТ и уравнение состояния идеального газа — основа заданий №7 (качественные вопросы про молекулы и энергию), №8–9 (расчётные задачи с газовыми законами и уравнением Менделеева-Клапейрона), №10 (анализ графиков процессов $p(V)$, $V(T)$, $p(T)$ и определение вида процесса).